حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} y {(y^{2} + 1)}^{5} d y$

خطوة 1

لنفترض أن $u = y^{2} + 1$ . إذن $d u = 2 y d y$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = y d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = y^{2} + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{2} + 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 1.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$2 y + 0$

خطوة 1.1.5

أضف $2 y$ و $0$ .

$2 y$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $y$ في $u = y^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 0 + 1$

خطوة 1.3.2

أضف $0$ و $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $y$ في $u = y^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{upper} = 1 + 1$

خطوة 1.5.2

أضف $1$ و $1$ .

$u_{upper} = 2$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{2} u^{5} \frac{1}{2} d u$

خطوة 2

اجمع $u^{5}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{u^{5}}{2} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{5} d u$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{5}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{2}$

خطوة 5

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة $\frac{1}{6} u^{6}$ في $2$ وفي $1$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{6} \cdot 2^{6}) - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ارفع $2$ إلى القوة $6$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 64 - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

خطوة 5.2.2

اجمع $\frac{1}{6}$ و $64$ .

$\frac{1}{2} (\frac{64}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

خطوة 5.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $64$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $64$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 (32)}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

خطوة 5.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

خطوة 5.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

خطوة 5.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} (\frac{32}{3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

خطوة 5.2.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{2} (\frac{32}{3} - \frac{1}{6} \cdot 1)$

خطوة 5.2.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{32}{3} - \frac{1}{6})$

خطوة 5.2.6

لكتابة $\frac{32}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{32}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{6})$

خطوة 5.2.7

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.7.1

اضرب $\frac{32}{3}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{32 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6})$

خطوة 5.2.7.2

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{32 \cdot 2}{6} - \frac{1}{6})$

خطوة 5.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{32 \cdot 2 - 1}{6}$

خطوة 5.2.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.9.1

اضرب $32$ في $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{64 - 1}{6}$

خطوة 5.2.9.2

اطرح $1$ من $64$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{63}{6}$

خطوة 5.2.10

احذِف العامل المشترك لـ $63$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.10.1

أخرِج العامل $3$ من $63$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 (21)}{6}$

خطوة 5.2.10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.10.2.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 2}$

خطوة 5.2.10.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 2}$

خطوة 5.2.10.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{21}{2}$

خطوة 5.2.11

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{21}{2}$ .

$\frac{21}{2 \cdot 2}$

خطوة 5.2.12

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{21}{4}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{21}{4}$

الصيغة العشرية:

$5.25$

صيغة العدد الذي به كسر:

$5 \frac{1}{4}$

خطوة 7