حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \sqrt{a x + b} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = a x + b$ . إذن $d u = a d x$ ، لذا $\frac{1}{a} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = a x + b$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $a x + b$ .

$\frac{d}{d x} [a x + b]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $a x + b$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [b]$ .

$\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [b]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [a x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $a$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $a x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [b]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $a$ في $1$ .

$a + \frac{d}{d x} [b]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $b$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $b$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$a + 0$

خطوة 1.1.4.2

أضف $a$ و $0$ .

$a$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{a} d u$

خطوة 2

اجمع $\sqrt{u}$ و $\frac{1}{a}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{a} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{a}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{a}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{a} \int \sqrt{u} d u$

خطوة 4

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{a} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{a} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة $\frac{1}{a} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{a} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{a} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $\frac{1}{a}$ في $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{a \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 6.2.2

انقُل $3$ إلى يسار $a$ .

$\frac{2}{3 \cdot a} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 6.2.3

اجمع $\frac{2}{3 a}$ و $u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3 a} + C$

خطوة 7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $a x + b$ .

$\frac{2 {(a x + b)}^{\frac{3}{2}}}{3 a} + C$