حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 x) \sin (\sin (2 x)) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{1} = 2 x$ . إذن $d u_{1} = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{1} = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 1.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u_{1} = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

خطوة 1.3

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u_{1} = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

خطوة 1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

خطوة 1.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u_{1}) \sin (\sin (u_{1})) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\cos (u_{1})$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{1})}{2} \sin (\sin (u_{1})) d u_{1}$

خطوة 2.2

اجمع $\frac{\cos (u_{1})}{2}$ و $\sin (\sin (u_{1}))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{1}) \sin (\sin (u_{1}))}{2} d u_{1}$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u_{1}) \sin (\sin (u_{1})) d u_{1}$

خطوة 4

لنفترض أن $u_{2} = \sin (u_{1})$ . إذن $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ ، لذا $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u_{2} = \sin (u_{1})$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

خطوة 4.1.2

مشتق $\sin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

خطوة 4.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $u_{1}$ في $u_{2} = \sin (u_{1})$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

خطوة 4.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 4.4

عوّض بالنهاية العليا عن $u_{1}$ في $u_{2} = \sin (u_{1})$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

خطوة 4.5

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$u_{upper} = 1$

خطوة 4.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

خطوة 4.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \sin (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 5

تكامل $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} - \cos (u_{2})]_{0}^{1}$

خطوة 6

احسِب قيمة $- \cos (u_{2})$ في $1$ وفي $0$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (1) + \cos (0))$

خطوة 7

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (1) + 1)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احسِب قيمة $\cos (1)$ .

$\frac{1}{2} (- 1 \cdot 0.5403023 + 1)$

خطوة 8.2

اضرب $- 1$ في $0.5403023$ .

$\frac{1}{2} (- 0.5403023 + 1)$

خطوة 8.3

أضف $- 0.5403023$ و $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0.45969769$

خطوة 8.4

اجمع $\frac{1}{2}$ و $0.45969769$ .

$\frac{0.45969769}{2}$

خطوة 8.5

اقسِم $0.45969769$ على $2$ .

$0.22984884$