حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{4 x} + e^{- x}$

خطوة 1

اكتب $e^{4 x} + e^{- x}$ في صورة دالة.

$f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{4 x} + e^{- x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 2.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 2.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 2.2.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 2.2.4

اضرب $4$ في $1$ .

$e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 2.2.5

انقُل $4$ إلى يسار $e^{4 x}$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $- x$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$4 e^{4 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- x$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.3.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

خطوة 2.3.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \cdot - 1$

خطوة 2.3.5

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$4 e^{4 x} - 1 \cdot e^{- x}$

خطوة 2.3.6

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$4 e^{4 x} - e^{- x}$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 e^{4 x} - e^{- x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 e^{4 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 e^{4 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (e^{4 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $4 x$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (4 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

خطوة 3.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 4 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (4 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

خطوة 3.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $4 x$ .

$f'' (x) = 4 (e^{4 x} \frac{d}{d x} (4 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

خطوة 3.2.3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

خطوة 3.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

خطوة 3.2.5

اضرب $4$ في $1$ .

$f'' (x) = 4 (e^{4 x} \cdot 4) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

خطوة 3.2.6

انقُل $4$ إلى يسار $e^{4 x}$ .

$f'' (x) = 4 (4 \cdot e^{4 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

خطوة 3.2.7

اضرب $4$ في $4$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- e^{- x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - \frac{d}{d x} e^{- x}$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $- x$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x))$

خطوة 3.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x))$

خطوة 3.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- x$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

خطوة 3.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

خطوة 3.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

خطوة 3.3.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

خطوة 3.3.6

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

خطوة 3.3.7

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} + e^{- x}$

خطوة 3.3.8

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} + 1 e^{- x}$

خطوة 3.3.9

اضرب $e^{- x}$ في $1$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} + e^{- x}$

خطوة 4

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$

خطوة 5

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{4 x} + e^{- x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 5.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 5.1.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 5.1.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 5.1.2.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 5.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 5.1.2.4

اضرب $4$ في $1$ .

$e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 5.1.2.5

انقُل $4$ إلى يسار $e^{4 x}$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 5.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $- x$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 5.1.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$4 e^{4 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 5.1.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- x$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 5.1.3.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 5.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

خطوة 5.1.3.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \cdot - 1$

خطوة 5.1.3.5

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$4 e^{4 x} - 1 \cdot e^{- x}$

خطوة 5.1.3.6

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$f' (x) = 4 e^{4 x} - e^{- x}$

خطوة 5.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $4 e^{4 x} - e^{- x}$ .

$4 e^{4 x} - e^{- x}$

خطوة 6

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$

خطوة 6.2

انقُل $- e^{- x}$ إلى المتعادل الأيمن بإضافتها إلى كلا الطرفين.

$4 e^{4 x} = e^{- x}$

خطوة 6.3

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (4 e^{4 x}) = \ln (e^{- x})$

خطوة 6.4

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

أعِد كتابة $\ln (4 e^{4 x})$ بالصيغة $\ln (4) + \ln (e^{4 x})$ .

$\ln (4) + \ln (e^{4 x}) = \ln (e^{- x})$

خطوة 6.4.2

وسّع $\ln (e^{4 x})$ بنقل $4 x$ خارج اللوغاريتم.

$\ln (4) + 4 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

خطوة 6.4.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$\ln (4) + 4 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

خطوة 6.4.4

اضرب $4$ في $1$ .

$\ln (4) + 4 x = \ln (e^{- x})$

خطوة 6.5

وسّع الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

وسّع $\ln (e^{- x})$ بنقل $- x$ خارج اللوغاريتم.

$\ln (4) + 4 x = - x \ln (e)$

خطوة 6.5.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$\ln (4) + 4 x = - x \cdot 1$

خطوة 6.5.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\ln (4) + 4 x = - x$

خطوة 6.6

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

أضف $x$ إلى كلا المتعادلين.

$\ln (4) + 4 x + x = 0$

خطوة 6.6.2

أضف $4 x$ و $x$ .

$\ln (4) + 5 x = 0$

خطوة 6.7

اطرح $\ln (4)$ من كلا المتعادلين.

$5 x = - \ln (4)$

خطوة 6.8

اقسِم كل حد في $5 x = - \ln (4)$ على $5$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.1

اقسِم كل حد في $5 x = - \ln (4)$ على $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \ln (4)}{5}$

خطوة 6.8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \ln (4)}{5}$

خطوة 6.8.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- \ln (4)}{5}$

خطوة 6.8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{\ln (4)}{5}$

خطوة 7

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 8

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = - \frac{\ln (4)}{5}$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = - \frac{\ln (4)}{5}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$16 e^{4 (- \frac{\ln (4)}{5})} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

خطوة 10

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أعِد كتابة $\frac{\ln (4)}{5}$ بالصيغة $\frac{1}{5} \ln (4)$ .

$16 e^{4 (- (\frac{1}{5} \ln (4)))} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

خطوة 10.2

بسّط $\frac{1}{5} \ln (4)$ بنقل $\frac{1}{5}$ داخل اللوغاريتم.

$16 e^{4 (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

خطوة 10.3

اضرب $4 (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$16 e^{- 4 \ln (4^{\frac{1}{5}})} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

خطوة 10.3.2

بسّط $- 4 \ln (4^{\frac{1}{5}})$ بنقل $4$ داخل اللوغاريتم.

$16 e^{- \ln ({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

خطوة 10.4

بسّط $- \ln ({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})$ بنقل $- 1$ داخل اللوغاريتم.

$16 e^{\ln ({({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})}^{- 1})} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

خطوة 10.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$16 {({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})}^{- 1} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

خطوة 10.6

اضرب الأُسس في ${({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.6.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 {(4^{\frac{1}{5}})}^{4 \cdot - 1} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

خطوة 10.6.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$16 {(4^{\frac{1}{5}})}^{- 4} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

خطوة 10.7

اضرب الأُسس في ${(4^{\frac{1}{5}})}^{- 4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.7.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 \cdot 4^{\frac{1}{5} \cdot - 4} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

خطوة 10.7.2

اجمع $\frac{1}{5}$ و $- 4$ .

$16 \cdot 4^{\frac{- 4}{5}} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

خطوة 10.7.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$16 \cdot 4^{- \frac{4}{5}} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

خطوة 10.8

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 \cdot \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

خطوة 10.9

اجمع $16$ و $\frac{1}{4^{\frac{4}{5}}}$ .

$\frac{16}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

خطوة 10.10

أعِد كتابة $\frac{\ln (4)}{5}$ بالصيغة $\frac{1}{5} \ln (4)$ .

$\frac{16}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{- - (\frac{1}{5} \ln (4))}$

خطوة 10.11

بسّط $\frac{1}{5} \ln (4)$ بنقل $\frac{1}{5}$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{16}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{- - \ln (4^{\frac{1}{5}})}$

خطوة 10.12

اضرب $- - \ln (4^{\frac{1}{5}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.12.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{16}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{1 \ln (4^{\frac{1}{5}})}$

خطوة 10.12.2

اضرب $\ln (4^{\frac{1}{5}})$ في $1$ .

$\frac{16}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{\ln (4^{\frac{1}{5}})}$

خطوة 10.13

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$\frac{16}{4^{\frac{4}{5}}} + 4^{\frac{1}{5}}$

خطوة 11

$x = - \frac{\ln (4)}{5}$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = - \frac{\ln (4)}{5}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 12

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = - \frac{\ln (4)}{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

Simplify $- \frac{\ln (4)}{5}$ to substitute in $f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

أعِد كتابة $\frac{\ln (4)}{5}$ بالصيغة $\frac{1}{5} \ln (4)$ .

$y = - (\frac{1}{5} \cdot \ln (4))$

خطوة 12.1.2

بسّط $\frac{1}{5} \ln (4)$ بنقل $\frac{1}{5}$ داخل اللوغاريتم.

$y = - \ln (4^{\frac{1}{5}})$

خطوة 12.2

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \ln (4^{\frac{1}{5}})$ في العبارة.

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = e^{4 (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

خطوة 12.3

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1.1

اضرب $4 (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1.1.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = e^{- 4 \ln (4^{\frac{1}{5}})} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

خطوة 12.3.1.1.2

بسّط $- 4 \ln (4^{\frac{1}{5}})$ بنقل $4$ داخل اللوغاريتم.

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = e^{- \ln ({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

خطوة 12.3.1.2

بسّط $- \ln ({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})$ بنقل $- 1$ داخل اللوغاريتم.

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = e^{\ln ({({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})}^{- 1})} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

خطوة 12.3.1.3

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = {({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})}^{- 1} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

خطوة 12.3.1.4

اضرب الأُسس في ${({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1.4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = {(4^{\frac{1}{5}})}^{4 \cdot - 1} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

خطوة 12.3.1.4.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = {(4^{\frac{1}{5}})}^{- 4} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

خطوة 12.3.1.5

اضرب الأُسس في ${(4^{\frac{1}{5}})}^{- 4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = 4^{\frac{1}{5} \cdot - 4} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

خطوة 12.3.1.5.2

اجمع $\frac{1}{5}$ و $- 4$ .

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = 4^{\frac{- 4}{5}} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

خطوة 12.3.1.5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = 4^{- \frac{4}{5}} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

خطوة 12.3.1.6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

خطوة 12.3.1.7

اضرب $- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1.7.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{1 \ln (4^{\frac{1}{5}})}$

خطوة 12.3.1.7.2

اضرب $\ln (4^{\frac{1}{5}})$ في $1$ .

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{\ln (4^{\frac{1}{5}})}$

خطوة 12.3.1.8

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + 4^{\frac{1}{5}}$

خطوة 12.3.2

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + 4^{\frac{1}{5}}$ .

$y = \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + 4^{\frac{1}{5}}$

خطوة 13

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$ .

$(- \frac{\ln (4)}{5}, \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + 4^{\frac{1}{5}})$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 14