حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{\sec (x) \tan (x)}{9 + 4 \sec^{2} (x)} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = \sec (x)$ . إذن $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = \sec (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

خطوة 1.1.2

مشتق $\sec (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{9 + 4 u^{2}} d u$

خطوة 2

أخرِج العامل $4$ من $9 + 4 u^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أخرِج العامل $4$ من $9$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 u^{2}} d u$

خطوة 2.2

أخرِج العامل $4$ من $4 u^{2}$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 (u^{2})} d u$

خطوة 2.3

أخرِج العامل $4$ من $4 (\frac{9}{4}) + 4 (u^{2})$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{9}{4} + u^{2})} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\frac{9}{4} + u^{2}} d u$

خطوة 4

أعِد كتابة $\frac{9}{4}$ بالصيغة ${(\frac{3}{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + u^{2}} d u$

خطوة 5

تكامل $\frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + u^{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{u}{\frac{3}{2}}) + C$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{u}{\frac{3}{2}}) + C)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{4} (1 (\frac{2}{3}) \arctan (\frac{u}{\frac{3}{2}}) + C)$

خطوة 6.1.2

اضرب $\frac{2}{3}$ في $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \arctan (\frac{u}{\frac{3}{2}}) + C)$

خطوة 6.1.3

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \arctan (u \frac{2}{3}) + C)$

خطوة 6.1.4

اجمع $u$ و $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \arctan (\frac{u \cdot 2}{3}) + C)$

خطوة 6.1.5

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \arctan (\frac{2 \cdot u}{3}) + C)$

خطوة 6.1.6

اجمع $\frac{2}{3}$ و $\arctan (\frac{2 u}{3})$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \arctan (\frac{2 u}{3})}{3} + C)$

خطوة 6.2

أعِد كتابة $\frac{1}{4} (\frac{2 \arctan (\frac{2 u}{3})}{3} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

خطوة 6.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{4 \cdot 3} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

خطوة 6.3.2

اضرب $4$ في $3$ .

$\frac{2}{12} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

خطوة 6.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (1)}{12} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

خطوة 6.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $12$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

خطوة 6.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

خطوة 6.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{6} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

خطوة 7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sec (x)$ .

$\frac{1}{6} \arctan (\frac{2}{3} \sec (x)) + C$