حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int e^{x} \cos (2 x) d x$

خطوة 1

أعِد ترتيب $e^{x}$ و $\cos (2 x)$ .

$\int \cos (2 x) e^{x} d x$

خطوة 2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \cos (2 x)$ و $d v = e^{x}$ .

$\cos (2 x) e^{x} - \int e^{x} (- 2 \sin (2 x)) d x$

خطوة 3

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$\cos (2 x) e^{x} - (- 2 \int e^{x} (\sin (2 x)) d x)$

خطوة 4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\cos (2 x) e^{x} + 2 \int e^{x} (\sin (2 x)) d x$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب $e^{x}$ و $\sin (2 x)$ .

$\cos (2 x) e^{x} + 2 \int \sin (2 x) e^{x} d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \sin (2 x)$ و $d v = e^{x}$ .

$\cos (2 x) e^{x} + 2 (\sin (2 x) e^{x} - \int e^{x} (2 \cos (2 x)) d x)$

خطوة 6

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\cos (2 x) e^{x} + 2 (\sin (2 x) e^{x} - (2 \int e^{x} (\cos (2 x)) d x))$

خطوة 7

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\cos (2 x) e^{x} + 2 (\sin (2 x) e^{x} - 2 \int e^{x} (\cos (2 x)) d x)$

خطوة 7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\cos (2 x) e^{x} + 2 (\sin (2 x) e^{x}) + 2 (- 2 \int e^{x} (\cos (2 x)) d x)$

خطوة 7.3

اضرب $- 2$ في $2$ .

$\cos (2 x) e^{x} + 2 (\sin (2 x) e^{x}) - 4 \int e^{x} (\cos (2 x)) d x$

خطوة 8

بإيجاد قيمة $\int e^{x} \cos (2 x) d x$ ، وجدنا أن $\int e^{x} \cos (2 x) d x$ = $\frac{\cos (2 x) e^{x} + 2 (\sin (2 x) e^{x})}{5}$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{x} + 2 (\sin (2 x) e^{x})}{5} + C$

خطوة 9

أعِد كتابة $\frac{\cos (2 x) e^{x} + 2 \sin (2 x) e^{x}}{5} + C$ بالصيغة $\frac{1}{5} (\cos (2 x) e^{x} + 2 \sin (2 x) e^{x}) + C$ .

$\frac{1}{5} (\cos (2 x) e^{x} + 2 \sin (2 x) e^{x}) + C$