حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

\int_{2 x}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t

$\int_{2 x}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t$

خطوة 1

قسّم التكامل إلى تكاملين بهما

c

$c$ هو قيمة ما بين

2 x

$2 x$ و

3 x + 1

$3 x + 1$ .

\frac{d}{d x} [\int_{2 x}^{c} \sin (t^{4}) d t + \int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]

$\frac{d}{d x} [\int_{2 x}^{c} \sin (t^{4}) d t + \int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

خطوة 2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق

\int_{2 x}^{c} \sin (t^{4}) d t + \int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t

$\int_{2 x}^{c} \sin (t^{4}) d t + \int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t$ بالنسبة إلى

x

$x$ هو

\frac{d}{d x} [\int_{2 x}^{c} \sin (t^{4}) d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]

$\frac{d}{d x} [\int_{2 x}^{c} \sin (t^{4}) d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$ .

\frac{d}{d x} [\int_{2 x}^{c} \sin (t^{4}) d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]

$\frac{d}{d x} [\int_{2 x}^{c} \sin (t^{4}) d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

خطوة 3

بدّل حدود التكامل.

\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{2 x} \sin (t^{4}) d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{2 x} \sin (t^{4}) d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

خطوة 4

خُذ مشتق

- \int_{c}^{2 x} \sin (t^{4}) d t

$- \int_{c}^{2 x} \sin (t^{4}) d t$ بالنسبة إلى

x

$x$ باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل وقاعدة السلسلة.

\frac{d}{d x} [2 x] (- \sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]

$\frac{d}{d x} [2 x] (- \sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

خطوة 5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن

2

$2$ عدد ثابت بالنسبة إلى

x

$x$ ، إذن مشتق

2 x

$2 x$ بالنسبة إلى

x

$x$ يساوي

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

2 \frac{d}{d x} [x] (- \sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]

$2 \frac{d}{d x} [x] (- \sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

خطوة 5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ حيث

n = 1

$n = 1$ .

2 \cdot 1 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]

$2 \cdot 1 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

خطوة 5.3

اضرب

2

$2$ في

1

$1$ .

2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

خطوة 6

خُذ مشتق

\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t

$\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t$ بالنسبة إلى

x

$x$ باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل وقاعدة السلسلة.

2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [3 x + 1] \sin ({(3 x + 1)}^{4})

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [3 x + 1] \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق

3 x + 1

$3 x + 1$ بالنسبة إلى

x

$x$ هو

\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) \sin ({(3 x + 1)}^{4})

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

خطوة 8

احسِب قيمة

\frac{d}{d x} [3 x]

$\frac{d}{d x} [3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بما أن

3

$3$ عدد ثابت بالنسبة إلى

x

$x$ ، إذن مشتق

3 x

$3 x$ بالنسبة إلى

x

$x$ يساوي

3 \frac{d}{d x} [x]

$3 \frac{d}{d x} [x]$ .

2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) \sin ({(3 x + 1)}^{4})

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

خطوة 8.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ حيث

n = 1

$n = 1$ .

2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) \sin ({(3 x + 1)}^{4})

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

خطوة 8.3

اضرب

3

$3$ في

1

$1$ .

2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + (3 + \frac{d}{d x} [1]) \sin ({(3 x + 1)}^{4})

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + (3 + \frac{d}{d x} [1]) \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + (3 + \frac{d}{d x} [1]) \sin ({(3 x + 1)}^{4})

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + (3 + \frac{d}{d x} [1]) \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

خطوة 9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بما أن

1

$1$ عدد ثابت بالنسبة إلى

x

$x$ ، فإن مشتق

1

$1$ بالنسبة إلى

x

$x$ هو

0

$0$ .

2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + (3 + 0) \sin ({(3 x + 1)}^{4})

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + (3 + 0) \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

خطوة 9.2

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

أضف

3

$3$ و

0

$0$ .

2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

خطوة 9.2.2

أخرِج العامل

2

$2$ من

2 x

$2 x$ .

2 (- \sin ({(2 (x))}^{4})) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})

$2 (- \sin ({(2 (x))}^{4})) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

خطوة 9.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.1

طبّق قاعدة الضرب على

2 (x)

$2 (x)$ .

2 (- \sin (2^{4} x^{4})) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})

$2 (- \sin (2^{4} x^{4})) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

خطوة 9.2.3.2

ارفع

2

$2$ إلى القوة

4

$4$ .

2 (- \sin (16 x^{4})) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})

$2 (- \sin (16 x^{4})) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

خطوة 9.2.3.3

اضرب

- 1

$- 1$ في

2

$2$ .

- 2 \sin (16 x^{4}) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})

$- 2 \sin (16 x^{4}) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

- 2 \sin (16 x^{4}) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})

$- 2 \sin (16 x^{4}) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

- 2 \sin (16 x^{4}) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})

$- 2 \sin (16 x^{4}) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

- 2 \sin (16 x^{4}) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})

$- 2 \sin (16 x^{4}) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})$