حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{2 x}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t$

خطوة 1

قسّم التكامل إلى تكاملين بهما $c$ هو قيمة ما بين $2 x$ و $3 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{2 x}^{c} \sin (t^{4}) d t + \int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

خطوة 2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\int_{2 x}^{c} \sin (t^{4}) d t + \int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\int_{2 x}^{c} \sin (t^{4}) d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{2 x}^{c} \sin (t^{4}) d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

خطوة 3

بدّل حدود التكامل.

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{2 x} \sin (t^{4}) d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

خطوة 4

خُذ مشتق $- \int_{c}^{2 x} \sin (t^{4}) d t$ بالنسبة إلى $x$ باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل وقاعدة السلسلة.

$\frac{d}{d x} [2 x] (- \sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

خطوة 5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] (- \sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

خطوة 5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

خطوة 5.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

خطوة 6

خُذ مشتق $\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t$ بالنسبة إلى $x$ باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل وقاعدة السلسلة.

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [3 x + 1] \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

خطوة 8

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

خطوة 8.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

خطوة 8.3

اضرب $3$ في $1$ .

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + (3 + \frac{d}{d x} [1]) \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

خطوة 9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + (3 + 0) \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

خطوة 9.2

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

أضف $3$ و $0$ .

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

خطوة 9.2.2

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$2 (- \sin ({(2 (x))}^{4})) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

خطوة 9.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 (x)$ .

$2 (- \sin (2^{4} x^{4})) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

خطوة 9.2.3.2

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$2 (- \sin (16 x^{4})) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

خطوة 9.2.3.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 \sin (16 x^{4}) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})$