حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\ln (x) + \ln (x - 1) = 3$

خطوة 1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x (x - 1)) = 3$

خطوة 1.2

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (x \cdot x + x \cdot - 1) = 3$

خطوة 1.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

اضرب $x$ في $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot - 1) = 3$

خطوة 1.2.2.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$\ln (x^{2} - 1 \cdot x) = 3$

خطوة 1.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$\ln (x^{2} - x) = 3$

خطوة 2

لإيجاد قيمة $x$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (x^{2} - x)} = e^{3}$

خطوة 3

أعِد كتابة $\ln (x^{2} - x) = 3$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{3} = x^{2} - x$

خطوة 4

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x^{2} - x = e^{3}$ .

$x^{2} - x = e^{3}$

خطوة 4.2

اطرح $e^{3}$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} - x - e^{3} = 0$

خطوة 4.3

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 4.4

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - 1$ و $c = - e^{3}$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- e^{3}))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 e^{3})}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.5.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 1 e^{3})}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.5.1.2.2

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4 e^{3}}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4 e^{3}}}{2}$

خطوة 4.6

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = \frac{1 + \sqrt{1 + 4 e^{3}}}{2}, \frac{1 - \sqrt{1 + 4 e^{3}}}{2}$

خطوة 5

استبعِد الحلول التي لا تجعل $\ln (x) + \ln (x - 1) = 3$ صحيحة.

$x = \frac{1 + \sqrt{1 + 4 e^{3}}}{2}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$x = \frac{1 + \sqrt{1 + 4 e^{3}}}{2}$

الصيغة العشرية:

$x = 5.00949408 \dots$