حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{n = 1}^{\infty} 3 {(\frac{1}{4})}^{n - 1}$

خطوة 1

يمكن إيجاد مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية باستخدام القاعدة $\frac{a}{1 - r}$ حيث $a$ هو الحد الأول و $r$ هي النسبة بين الحدود المتتالية.

خطوة 2

أوجِد نسبة الحدود المتتالية بالتعويض في القاعدة $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عوّض بـ $a_{n}$ و $a_{n + 1}$ في قاعدة إيجاد $r$ .

$r = \frac{3 {(\frac{1}{4})}^{n + 1 - 1}}{3 {(\frac{1}{4})}^{n - 1}}$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{3 {(\frac{1}{4})}^{n + 1 - 1}}{3 {(\frac{1}{4})}^{n - 1}}$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n + 1 - 1}}{{(\frac{1}{4})}^{n - 1}}$

خطوة 2.2.2

احذِف العامل المشترك لـ ${(\frac{1}{4})}^{n + 1 - 1}$ و ${(\frac{1}{4})}^{n - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أخرِج العامل ${(\frac{1}{4})}^{n - 1}$ من ${(\frac{1}{4})}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} {(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{4})}^{n - 1}}$

خطوة 2.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

اضرب في $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} {(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} \cdot 1}$

خطوة 2.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} {(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} \cdot 1}$

خطوة 2.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

خطوة 2.2.2.2.4

اقسِم ${(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}$ على $1$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}$

خطوة 2.2.3

أضف $n$ و $0$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{n - (n - 1)}$

خطوة 2.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$r = {(\frac{1}{4})}^{n - n - - 1}$

خطوة 2.2.4.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{n - n + 1}$

خطوة 2.2.5

اطرح $n$ من $n$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{0 + 1}$

خطوة 2.2.6

أضف $0$ و $1$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{1}$

خطوة 2.2.7

بسّط.

$r = \frac{1}{4}$

خطوة 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

خطوة 4

أوجِد الحد الأول في المتسلسلة بالتعويض بقيمة الحد الأدنى والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بـ $1$ عن $n$ في $3 {(\frac{1}{4})}^{n - 1}$ .

$a = 3 {(\frac{1}{4})}^{1 - 1}$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $1$ من $1$ .

$a = 3 {(\frac{1}{4})}^{0}$

خطوة 4.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{4}$ .

$a = 3 \frac{1^{0}}{4^{0}}$

خطوة 4.2.3

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$a = 3 \frac{1}{4^{0}}$

خطوة 4.2.4

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$a = 3 (\frac{1}{1})$

خطوة 4.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$a = 3 (\frac{1}{1})$

خطوة 4.2.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$a = 3 \cdot 1$

خطوة 4.2.6

اضرب $3$ في $1$ .

$a = 3$

خطوة 5

عوّض بقيم النسبة والحد الأول في قاعدة المجموع.

$\frac{3}{1 - \frac{1}{4}}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{3}{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

خطوة 6.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{3}{\frac{4 - 1}{4}}$

خطوة 6.1.3

اطرح $1$ من $4$ .

$\frac{3}{\frac{3}{4}}$

خطوة 6.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$3 (\frac{4}{3})$

خطوة 6.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 (\frac{4}{3})$

خطوة 6.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$4$