حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{8} \sqrt{64 - x^{2}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $x = 8 \sin (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = 8 \cos (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $8 \cos (t)$ موجبة.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 - {(8 \sin (t))}^{2}} (8 \cos (t)) d t$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط $\sqrt{64 - {(8 \sin (t))}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $8 \sin (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 - (8^{2} \sin^{2} (t))} (8 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.1.2

ارفع $8$ إلى القوة $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 - (64 \sin^{2} (t))} (8 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.1.3

اضرب $64$ في $- 1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 - 64 \sin^{2} (t)} (8 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.2

أخرِج العامل $64$ من $64$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 (1) - 64 \sin^{2} (t)} (8 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.3

أخرِج العامل $64$ من $- 64 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 (1) + 64 (- \sin^{2} (t))} (8 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.4

أخرِج العامل $64$ من $64 (1) + 64 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 (1 - \sin^{2} (t))} (8 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 \cos^{2} (t)} (8 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.6

أعِد كتابة $64 \cos^{2} (t)$ بالصيغة ${(8 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(8 \cos (t))}^{2}} (8 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 8 \cos (t) (8 \cos (t)) d t$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اضرب $8$ في $8$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 64 \cos (t) \cos (t) d t$

خطوة 2.2.2

ارفع $\cos (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 64 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

خطوة 2.2.3

ارفع $\cos (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 64 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

خطوة 2.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 64 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

خطوة 2.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 64 \cos^{2} (t) d t$

خطوة 3

بما أن $64$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $64$ خارج التكامل.

$64 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

خطوة 4

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\cos^{2} (t)$ بحيث تصبح $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$64 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$64 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $64$ .

$\frac{64}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

خطوة 6.2

احذِف العامل المشترك لـ $64$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $64$ .

$\frac{2 \cdot 32}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

خطوة 6.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 32}{2 (1)} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

خطوة 6.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

خطوة 6.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{32}{1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

خطوة 6.2.2.4

اقسِم $32$ على $1$ .

$32 \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$32 (\int_{0}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

خطوة 8

طبّق قاعدة الثابت.

$32 (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

خطوة 9

لنفترض أن $u = 2 t$ . إذن $d u = 2 d t$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

افترض أن $u = 2 t$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أوجِد مشتقة $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

خطوة 9.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 9.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 9.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 9.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $t$ في $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

خطوة 9.3

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 9.4

عوّض بالنهاية العليا عن $t$ في $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

خطوة 9.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

خطوة 9.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = π$

خطوة 9.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

خطوة 9.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$32 (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

خطوة 10

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$32 (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

خطوة 11

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$32 (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u) d u)$

خطوة 12

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$32 (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{π})$

خطوة 13

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sin (u)]_{0}^{π}$ .

$32 (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u)]_{0}^{π}}{2})$

خطوة 14

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

احسِب قيمة $t$ في $\frac{π}{2}$ وفي $0$ .

$32 ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{\sin (u)]_{0}^{π}}{2})$

خطوة 14.2

احسِب قيمة $\sin (u)$ في $π$ وفي $0$ .

$32 ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{(\sin (π)) - \sin (0)}{2})$

خطوة 14.3

أضف $\frac{π}{2}$ و $0$ .

$32 (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π) - \sin (0)}{2})$

خطوة 15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$32 (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π) - 0}{2})$

خطوة 15.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$32 (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π) + 0}{2})$

خطوة 15.3

أضف $\sin (π)$ و $0$ .

$32 (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π)}{2})$

خطوة 16

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$32 \frac{π + \sin (π)}{2}$

خطوة 16.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$32 \frac{π + \sin (0)}{2}$

خطوة 16.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$32 \frac{π + 0}{2}$

خطوة 16.3

أضف $π$ و $0$ .

$32 \frac{π}{2}$

خطوة 16.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.4.1

أخرِج العامل $2$ من $32$ .

$2 (16) \frac{π}{2}$

خطوة 16.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot 16 \frac{π}{2}$

خطوة 16.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$16 π$

خطوة 17

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$16 π$

الصيغة العشرية:

$50.26548245 \dots$

خطوة 18