حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{5} x \sqrt{2 x^{2} - 1} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 2 x^{2} - 1$ . إذن $d u = 4 x d x$ ، لذا $\frac{1}{4} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 2 x^{2} - 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $2 x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{2} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 x + 0$

خطوة 1.1.4.2

أضف $4 x$ و $0$ .

$4 x$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 2 x^{2} - 1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 1^{2} - 1$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{lower} = 2 \cdot 1 - 1$

خطوة 1.3.1.2

اضرب $2$ في $1$ .

$u_{lower} = 2 - 1$

خطوة 1.3.2

اطرح $1$ من $2$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 2 x^{2} - 1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 5^{2} - 1$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 25 - 1$

خطوة 1.5.1.2

اضرب $2$ في $25$ .

$u_{upper} = 50 - 1$

خطوة 1.5.2

اطرح $1$ من $50$ .

$u_{upper} = 49$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 49$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{49} \sqrt{u} \frac{1}{4} d u$

خطوة 2

اجمع $\sqrt{u}$ و $\frac{1}{4}$ .

$\int_{1}^{49} \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{49} \sqrt{u} d u$

خطوة 4

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{49} u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{49}$

خطوة 6

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ في $49$ وفي $1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 49^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أعِد كتابة $49$ بالصيغة $7^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot {(7^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 7^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.4

ارفع $7$ إلى القوة $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 343 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.5

اجمع $\frac{2}{3}$ و $343$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 343}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.6

اضرب $2$ في $343$ .

$\frac{1}{4} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.7

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{4} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1)$

خطوة 6.2.8

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3})$

خطوة 6.2.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{686 - 2}{3}$

خطوة 6.2.10

اطرح $2$ من $686$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{684}{3}$

خطوة 6.2.11

احذِف العامل المشترك لـ $684$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.11.1

أخرِج العامل $3$ من $684$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 228}{3}$

خطوة 6.2.11.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.11.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 228}{3 (1)}$

خطوة 6.2.11.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 228}{3 \cdot 1}$

خطوة 6.2.11.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{228}{1}$

خطوة 6.2.11.2.4

اقسِم $228$ على $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 228$

خطوة 6.2.12

اجمع $\frac{1}{4}$ و $228$ .

$\frac{228}{4}$

خطوة 6.2.13

احذِف العامل المشترك لـ $228$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.13.1

أخرِج العامل $4$ من $228$ .

$\frac{4 \cdot 57}{4}$

خطوة 6.2.13.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.13.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{4 \cdot 57}{4 (1)}$

خطوة 6.2.13.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \cdot 57}{4 \cdot 1}$

خطوة 6.2.13.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{57}{1}$

خطوة 6.2.13.2.4

اقسِم $57$ على $1$ .

$57$

خطوة 7