حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{e} x^{2} - \frac{1}{x} d x$

خطوة 1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{1}^{e} x^{2} d x + \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} d x$

خطوة 2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} d x$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

خطوة 4

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e} - (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

خطوة 5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

احسِب قيمة $\frac{1}{3} x^{3}$ في $e$ وفي $1$ .

$(\frac{1}{3} e^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

خطوة 5.1.2

احسِب قيمة $\ln (| x |)$ في $e$ وفي $1$ .

$\frac{1}{3} e^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 5.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $e^{3}$ .

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 5.1.3.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 5.1.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 5.1.3.4

لكتابة $- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{3}}{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

خطوة 5.1.3.5

اجمع $- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{3}}{3} + \frac{- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}$

خطوة 5.1.3.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{e^{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}$

خطوة 5.1.3.7

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{e^{3} - 3 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))}{3} - \frac{1}{3}$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{e^{3} - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})}{3} - \frac{1}{3}$

خطوة 5.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{e^{3} - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |}) - 1}{3}$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

$e$ تساوي تقريبًا $2.71828182$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\frac{e^{3} - 3 \ln (\frac{e}{| 1 |}) - 1}{3}$

خطوة 5.3.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{e^{3} - 3 \ln (\frac{e}{1}) - 1}{3}$

خطوة 5.3.3

اقسِم $e$ على $1$ .

$\frac{e^{3} - 3 \ln (e) - 1}{3}$

خطوة 5.3.4

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$\frac{e^{3} - 3 \cdot 1 - 1}{3}$

خطوة 5.3.5

اضرب $- 3$ في $1$ .

$\frac{e^{3} - 3 - 1}{3}$

خطوة 5.3.6

اطرح $1$ من $- 3$ .

$\frac{e^{3} - 4}{3}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{e^{3} - 4}{3}$

الصيغة العشرية:

$5.36184564 \dots$

خطوة 7