حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{2}^{x^{2}} \arctan (t) d t$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \arctan (t)$ و $d v = 1$ .

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - \int_{2}^{x^{2}} t \frac{1}{t^{2} + 1} d t$

خطوة 2

اجمع $t$ و $\frac{1}{t^{2} + 1}$ .

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - \int_{2}^{x^{2}} \frac{t}{t^{2} + 1} d t$

خطوة 3

لنفترض أن $u = t^{2} + 1$ . إذن $d u = 2 t d t$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = t d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = t^{2} + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $t^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

خطوة 3.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t^{2} + 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 3.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$2 t + 0$

خطوة 3.1.5

أضف $2 t$ و $0$ .

$2 t$

خطوة 3.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $t$ في $u = t^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 2^{2} + 1$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$u_{lower} = 4 + 1$

خطوة 3.3.2

أضف $4$ و $1$ .

$u_{lower} = 5$

خطوة 3.4

عوّض بالنهاية العليا عن $t$ في $u = t^{2} + 1$ .

$u_{upper} = {(x^{2})}^{2} + 1$

خطوة 3.5

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = x^{2 \cdot 2} + 1$

خطوة 3.5.2

اضرب $2$ في $2$ .

$u_{upper} = x^{4} + 1$

خطوة 3.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = x^{4} + 1$

خطوة 3.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - \int_{5}^{x^{4} + 1} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - \int_{5}^{x^{4} + 1} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

خطوة 4.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - \int_{5}^{x^{4} + 1} \frac{1}{2 u} d u$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - (\frac{1}{2} \int_{5}^{x^{4} + 1} \frac{1}{u} d u)$

خطوة 6

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{5}^{x^{4} + 1}$

خطوة 7

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احسِب قيمة $\arctan (t) t$ في $x^{2}$ وفي $2$ .

$(\arctan (x^{2}) x^{2}) - \arctan (2) \cdot 2 - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{5}^{x^{4} + 1}$

خطوة 7.2

احسِب قيمة $\ln (| u |)$ في $x^{4} + 1$ وفي $5$ .

$(\arctan (x^{2}) x^{2}) - \arctan (2) \cdot 2 - \frac{1}{2} ((\ln (| x^{4} + 1 |)) - \ln (| 5 |))$

خطوة 7.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\arctan (x^{2}) x^{2} - 2 \arctan (2) - \frac{1}{2} (\ln (| x^{4} + 1 |) - \ln (| 5 |))$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\arctan (x^{2}) x^{2} - 2 \arctan (2) - \frac{1}{2} \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})$

خطوة 8.2

اجمع $\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})$ و $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (x^{2}) x^{2} - 2 \arctan (2) - \frac{\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})}{2}$

خطوة 8.3

لكتابة $\arctan (x^{2}) x^{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})}{2} - 2 \arctan (2)$

خطوة 8.4

اجمع $\arctan (x^{2}) x^{2}$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})}{2} - 2 \arctan (2)$

خطوة 8.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot 2 - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})}{2} - 2 \arctan (2)$

خطوة 8.6

انقُل $2$ إلى يسار $\arctan (x^{2}) x^{2}$ .

$\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})}{2} - 2 \arctan (2)$

خطوة 9

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} (2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{1}{| 5 |} | x^{4} + 1 |)) - 2 \arctan (2)$

خطوة 9.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $5$ تساوي $5$ .

$\frac{1}{2} (2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{1}{5} | x^{4} + 1 |)) - 2 \arctan (2)$

خطوة 9.2.1.2

اجمع $\frac{1}{5}$ و $| x^{4} + 1 |$ .

$\frac{1}{2} (2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})) - 2 \arctan (2)$

خطوة 9.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} (2 \arctan (x^{2}) x^{2}) + \frac{1}{2} (- \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})) - 2 \arctan (2)$

خطوة 9.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \arctan (x^{2}) x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (2 (\arctan (x^{2}) x^{2})) + \frac{1}{2} (- \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})) - 2 \arctan (2)$

خطوة 9.2.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} (2 (\arctan (x^{2}) x^{2})) + \frac{1}{2} (- \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})) - 2 \arctan (2)$

خطوة 9.2.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\arctan (x^{2}) x^{2} + \frac{1}{2} (- \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})) - 2 \arctan (2)$

خطوة 9.2.4

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})$ .

$\arctan (x^{2}) x^{2} - \frac{\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2 \arctan (2)$

خطوة 9.2.5

لكتابة $\arctan (x^{2}) x^{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2 \arctan (2)$

خطوة 9.2.6

اجمع $\arctan (x^{2}) x^{2}$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2 \arctan (2)$

خطوة 9.2.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot 2 - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2 \arctan (2)$

خطوة 9.2.8

انقُل $2$ إلى يسار $\arctan (x^{2}) x^{2}$ .

$\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2 \arctan (2)$

خطوة 9.2.9

احسِب قيمة $\arctan (2)$ .

$\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2 \cdot 1.10714871$

خطوة 9.2.10

اضرب $- 2$ في $1.10714871$ .

$\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2.21429743$