حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{4} \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{1}^{4} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{4} - \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| x |)]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 4.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 4.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} x^{- 2} d x$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{4} - (- x^{- 1}]_{1}^{4})$

خطوة 6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

احسِب قيمة $\ln (| x |)$ في $4$ وفي $1$ .

$(\ln (| 4 |)) - \ln (| 1 |) - (- x^{- 1}]_{1}^{4})$

خطوة 6.1.2

احسِب قيمة $- x^{- 1}$ في $4$ وفي $1$ .

$\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |) - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

خطوة 6.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{4} + 1^{- 1})$

خطوة 6.1.3.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{4} + 1)$

خطوة 6.1.3.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})$

خطوة 6.1.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |) - \frac{- 1 + 4}{4}$

خطوة 6.1.3.5

أضف $- 1$ و $4$ .

$\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |) - \frac{3}{4}$

خطوة 6.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 4 |}{| 1 |}) - \frac{3}{4}$

خطوة 6.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $4$ تساوي $4$ .

$\ln (\frac{4}{| 1 |}) - \frac{3}{4}$

خطوة 6.3.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\ln (\frac{4}{1}) - \frac{3}{4}$

خطوة 6.3.3

اقسِم $4$ على $1$ .

$\ln (4) - \frac{3}{4}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\ln (4) - \frac{3}{4}$

الصيغة العشرية:

$0.63629436 \dots$

خطوة 8