حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \sin^{5} (4 x) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{1} = 4 x$ . إذن $d u_{1} = 4 d x$ ، لذا $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{1} = 4 x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 1.1.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

خطوة 1.1.4

اضرب $4$ في $1$ .

$4$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \sin^{5} (u_{1}) \frac{1}{4} d u_{1}$

خطوة 2

اجمع $\sin^{5} (u_{1})$ و $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{\sin^{5} (u_{1})}{4} d u_{1}$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} \int \sin^{5} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 4

أخرِج عامل $\sin^{4} (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} \int \sin^{4} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 5

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{1}{4} \int {\sin (u_{1})}^{2 (2)} \sin (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 5.2

أعِد كتابة ${\sin (u_{1})}^{2 (2)}$ في صورة أُس.

$\frac{1}{4} \int {(\sin^{2} (u_{1}))}^{2} \sin (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 6

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\sin^{2} (u_{1})$ بحيث تصبح $1 - \cos^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} \int {(1 - \cos^{2} (u_{1}))}^{2} \sin (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 7

لنفترض أن $u_{2} = \cos (u_{1})$ . إذن $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ ، لذا $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

افترض أن $u_{2} = \cos (u_{1})$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أوجِد مشتقة $\cos (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

خطوة 7.1.2

مشتق $\cos (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1})$

خطوة 7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} \int - {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2}$

خطوة 8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} (- \int {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2})$

خطوة 9

وسّع ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أعِد كتابة ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ بالصيغة $(1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2})$ .

$\frac{1}{4} (- \int (1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

خطوة 9.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{4} (- \int 1 (1 - {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

خطوة 9.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{4} (- \int 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

خطوة 9.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{4} (- \int 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} \cdot 1 - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

خطوة 9.5

انقُل ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

خطوة 9.6

انقُل ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

خطوة 9.7

اضرب $1$ في $1$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

خطوة 9.8

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

خطوة 9.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

خطوة 9.10

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

خطوة 9.11

اضرب ${u_{2}}^{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

خطوة 9.12

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2})$

خطوة 9.13

أضف $2$ و $2$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2})$

خطوة 9.14

اطرح ${u_{2}}^{2}$ من $- {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 - 2 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2})$

خطوة 9.15

أعِد ترتيب $- 2 {u_{2}}^{2}$ و ${u_{2}}^{4}$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 + {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2})$

خطوة 9.16

انقُل $1$ .

$\frac{1}{4} (- \int {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} + 1 d u_{2})$

خطوة 10

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{4} (- (\int {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2}))$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{2}}^{4}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + \int - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2}))$

خطوة 12

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 \int {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2}))$

خطوة 13

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{2}}^{2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \int d u_{2}))$

خطوة 14

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + u_{2} + C))$

خطوة 15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و ${u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + u_{2} + C))$

خطوة 15.1.2

اجمع $\frac{1}{5}$ و ${u_{2}}^{5}$ .

$\frac{1}{4} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + u_{2} + C))$

خطوة 15.2

بسّط.

$\frac{1}{4} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} - \frac{2 {u_{2}}^{3}}{3} + u_{2})) + C$

خطوة 16

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} (- (\frac{\cos^{5} (u_{1})}{5} - \frac{2 \cos^{3} (u_{1})}{3} + \cos (u_{1}))) + C$

خطوة 16.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $4 x$ .

$\frac{1}{4} (- (\frac{\cos^{5} (4 x)}{5} - \frac{2 \cos^{3} (4 x)}{3} + \cos (4 x))) + C$

خطوة 17

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} \cos^{5} (4 x) - \frac{2}{3} \cos^{3} (4 x) + \cos (4 x))) + C$