حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{- 1} {(12 x + 11)}^{2} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 12 x + 11$ . إذن $d u = 12 d x$ ، لذا $\frac{1}{12} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 12 x + 11$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $12 x + 11$ .

$\frac{d}{d x} [12 x + 11]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $12 x + 11$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [11]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $12 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [11]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $12$ في $1$ .

$12 + \frac{d}{d x} [11]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $11$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $11$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$12 + 0$

خطوة 1.1.4.2

أضف $12$ و $0$ .

$12$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 12 x + 11$ .

$u_{lower} = 12 \cdot 1 + 11$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $12$ في $1$ .

$u_{lower} = 12 + 11$

خطوة 1.3.2

أضف $12$ و $11$ .

$u_{lower} = 23$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 12 x + 11$ .

$u_{upper} = 12 \cdot - 1 + 11$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اضرب $12$ في $- 1$ .

$u_{upper} = - 12 + 11$

خطوة 1.5.2

أضف $- 12$ و $11$ .

$u_{upper} = - 1$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 23$

$u_{upper} = - 1$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{23}^{- 1} u^{2} \frac{1}{12} d u$

خطوة 2

اجمع $u^{2}$ و $\frac{1}{12}$ .

$\int_{23}^{- 1} \frac{u^{2}}{12} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{12}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{12}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{12} \int_{23}^{- 1} u^{2} d u$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{12} \frac{1}{3} u^{3}]_{23}^{- 1}$

خطوة 5

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة $\frac{1}{3} u^{3}$ في $- 1$ وفي $23$ .

$\frac{1}{12} ((\frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 23^{3})$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1}{3} \cdot - 1 - \frac{1}{3} \cdot 23^{3})$

خطوة 5.2.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $- 1$ .

$\frac{1}{12} (\frac{- 1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 23^{3})$

خطوة 5.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{12} (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 23^{3})$

خطوة 5.2.4

ارفع $23$ إلى القوة $3$ .

$\frac{1}{12} (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 12167)$

خطوة 5.2.5

اضرب $12167$ في $- 1$ .

$\frac{1}{12} (- \frac{1}{3} - 12167 (\frac{1}{3}))$

خطوة 5.2.6

اجمع $- 12167$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{12} (- \frac{1}{3} + \frac{- 12167}{3})$

خطوة 5.2.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{12} (- \frac{1}{3} - \frac{12167}{3})$

خطوة 5.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{- 1 - 12167}{3}$

خطوة 5.2.9

اطرح $12167$ من $- 1$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{- 12168}{3}$

خطوة 5.2.10

احذِف العامل المشترك لـ $- 12168$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.10.1

أخرِج العامل $3$ من $- 12168$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot - 4056}{3}$

خطوة 5.2.10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.10.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot - 4056}{3 (1)}$

خطوة 5.2.10.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot - 4056}{3 \cdot 1}$

خطوة 5.2.10.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{- 4056}{1}$

خطوة 5.2.10.2.4

اقسِم $- 4056$ على $1$ .

$\frac{1}{12} \cdot - 4056$

خطوة 5.2.11

اجمع $\frac{1}{12}$ و $- 4056$ .

$\frac{- 4056}{12}$

خطوة 5.2.12

احذِف العامل المشترك لـ $- 4056$ و $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.12.1

أخرِج العامل $12$ من $- 4056$ .

$\frac{12 \cdot - 338}{12}$

خطوة 5.2.12.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.12.2.1

أخرِج العامل $12$ من $12$ .

$\frac{12 \cdot - 338}{12 (1)}$

خطوة 5.2.12.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{12 \cdot - 338}{12 \cdot 1}$

خطوة 5.2.12.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 338}{1}$

خطوة 5.2.12.2.4

اقسِم $- 338$ على $1$ .

$- 338$

خطوة 6