حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{π} {(1 + \cos (7 t))}^{2} \sin (7 t) d t$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ . إذن $d u_{2} = - 7 \sin (7 t) d t$ ، لذا $- \frac{1}{7} d u_{2} = \sin (7 t) d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $1 + \cos (7 t)$ .

$\frac{d}{d t} [1 + \cos (7 t)]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + \cos (7 t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = \cos (t)$ و $g (t) = 7 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $7 t$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [7 t]$

خطوة 1.1.3.1.2

مشتق $\cos (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \sin (u_{1})$ .

$0 - \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [7 t]$

خطوة 1.1.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $7 t$ .

$0 - \sin (7 t) \frac{d}{d t} [7 t]$

خطوة 1.1.3.2

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $7 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 - \sin (7 t) (7 \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 1.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 - \sin (7 t) (7 \cdot 1)$

خطوة 1.1.3.4

اضرب $7$ في $1$ .

$0 - \sin (7 t) \cdot 7$

خطوة 1.1.3.5

اضرب $7$ في $- 1$ .

$0 - 7 \sin (7 t)$

خطوة 1.1.4

اطرح $7 \sin (7 t)$ من $0$ .

$- 7 \sin (7 t)$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $t$ في $u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ .

$u_{lower} = 1 + \cos (7 \cdot 0)$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

اضرب $7$ في $0$ .

$u_{lower} = 1 + \cos (0)$

خطوة 1.3.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$u_{lower} = 1 + 1$

خطوة 1.3.2

أضف $1$ و $1$ .

$u_{lower} = 2$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $t$ في $u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ .

$u_{upper} = 1 + \cos (7 π)$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$u_{upper} = 1 + \cos (π)$

خطوة 1.5.1.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$u_{upper} = 1 - \cos (0)$

خطوة 1.5.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

خطوة 1.5.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

خطوة 1.5.2

اطرح $1$ من $1$ .

$u_{upper} = 0$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 0$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{2}^{0} {u_{2}}^{2} \frac{1}{- 7} d u_{2}$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int_{2}^{0} {u_{2}}^{2} (- \frac{1}{7}) d u_{2}$

خطوة 2.2

اجمع ${u_{2}}^{2}$ و $\frac{1}{7}$ .

$\int_{2}^{0} - \frac{{u_{2}}^{2}}{7} d u_{2}$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{2}^{0} \frac{{u_{2}}^{2}}{7} d u_{2}$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{7}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{7}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{7} \int_{2}^{0} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{2}}^{2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$- \frac{1}{7} \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{2}^{0}$

خطوة 6

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ في $0$ وفي $2$ .

$- \frac{1}{7} ((\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- \frac{1}{7} (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

خطوة 6.2.2

اضرب $\frac{1}{3}$ في $0$ .

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

خطوة 6.2.3

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{1}{3} \cdot 8)$

خطوة 6.2.4

اضرب $8$ في $- 1$ .

$- \frac{1}{7} (0 - 8 (\frac{1}{3}))$

خطوة 6.2.5

اجمع $- 8$ و $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{7} (0 + \frac{- 8}{3})$

خطوة 6.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{8}{3})$

خطوة 6.2.7

اطرح $\frac{8}{3}$ من $0$ .

$- \frac{1}{7} (- \frac{8}{3})$

خطوة 6.2.8

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (\frac{1}{7}) \frac{8}{3}$

خطوة 6.2.9

اضرب $\frac{1}{7}$ في $1$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{8}{3}$

خطوة 6.2.10

اضرب $\frac{1}{7}$ في $\frac{8}{3}$ .

$\frac{8}{7 \cdot 3}$

خطوة 6.2.11

اضرب $7$ في $3$ .

$\frac{8}{21}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{8}{21}$

الصيغة العشرية:

$0.\overline{380952}$