حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{2} 3 \sqrt{4 u + 1} d u$

خطوة 1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int_{0}^{2} \sqrt{4 u + 1} d u$

خطوة 2

لنفترض أن $u_{1} = 4 u + 1$ . إذن $d u_{1} = 4 d u$ ، لذا $\frac{1}{4} d u_{1} = d u$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u_{1} = 4 u + 1$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $4 u + 1$ .

$\frac{d}{d u} [4 u + 1]$

خطوة 2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 u + 1$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{d}{d u} [4 u] + \frac{d}{d u} [1]$ .

$\frac{d}{d u} [4 u] + \frac{d}{d u} [1]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d u} [4 u]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، إذن مشتق $4 u$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $4 \frac{d}{d u} [u]$ .

$4 \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d u} [1]$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $4$ في $1$ .

$4 + \frac{d}{d u} [1]$

خطوة 2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $u$ هو $0$ .

$4 + 0$

خطوة 2.1.4.2

أضف $4$ و $0$ .

$4$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $u$ في $u_{1} = 4 u + 1$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 1$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب $4$ في $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

خطوة 2.3.2

أضف $0$ و $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $u$ في $u_{1} = 4 u + 1$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 2 + 1$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اضرب $4$ في $2$ .

$u_{upper} = 8 + 1$

خطوة 2.5.2

أضف $8$ و $1$ .

$u_{upper} = 9$

خطوة 2.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

خطوة 2.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$3 \int_{1}^{9} \sqrt{u_{1}} \frac{1}{4} d u_{1}$

خطوة 3

اجمع $\sqrt{u_{1}}$ و $\frac{1}{4}$ .

$3 \int_{1}^{9} \frac{\sqrt{u_{1}}}{4} d u_{1}$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$3 (\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \sqrt{u_{1}} d u_{1})$

خطوة 5

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $3$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{9} \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

خطوة 5.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u_{1}}$ في صورة ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{9} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1}$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3}{4} \frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

خطوة 7

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احسِب قيمة $\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ في $9$ وفي $1$ .

$\frac{3}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 7.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 7.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 7.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 7.2.4

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 7.2.5

اجمع $\frac{2}{3}$ و $27$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 7.2.6

اضرب $2$ في $27$ .

$\frac{3}{4} (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 7.2.7

احذِف العامل المشترك لـ $54$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.7.1

أخرِج العامل $3$ من $54$ .

$\frac{3}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 7.2.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.7.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 7.2.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 7.2.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3}{4} (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 7.2.7.2.4

اقسِم $18$ على $1$ .

$\frac{3}{4} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 7.2.8

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{3}{4} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1)$

خطوة 7.2.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{3}{4} (18 - \frac{2}{3})$

خطوة 7.2.10

لكتابة $18$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{4} (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

خطوة 7.2.11

اجمع $18$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3})$

خطوة 7.2.12

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{18 \cdot 3 - 2}{3}$

خطوة 7.2.13

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.13.1

اضرب $18$ في $3$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{54 - 2}{3}$

خطوة 7.2.13.2

اطرح $2$ من $54$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{52}{3}$

خطوة 7.2.14

اضرب $\frac{3}{4}$ في $\frac{52}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 52}{4 \cdot 3}$

خطوة 7.2.15

اضرب $3$ في $52$ .

$\frac{156}{4 \cdot 3}$

خطوة 7.2.16

اضرب $4$ في $3$ .

$\frac{156}{12}$

خطوة 7.2.17

احذِف العامل المشترك لـ $156$ و $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.17.1

أخرِج العامل $12$ من $156$ .

$\frac{12 \cdot 13}{12}$

خطوة 7.2.17.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.17.2.1

أخرِج العامل $12$ من $12$ .

$\frac{12 \cdot 13}{12 (1)}$

خطوة 7.2.17.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{12 \cdot 13}{12 \cdot 1}$

خطوة 7.2.17.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{13}{1}$

خطوة 7.2.17.2.4

اقسِم $13$ على $1$ .

$13$

خطوة 8