حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{5} t \sqrt{25 - t^{2}} d t$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 25 - t^{2}$ . إذن $d u = - 2 t d t$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u = t d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 25 - t^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $25 - t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [25 - t^{2}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $25 - t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [25] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [25] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $25$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $25$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d t} [t^{2}]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 - (2 t)$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$0 - 2 t$

خطوة 1.1.4

اطرح $2 t$ من $0$ .

$- 2 t$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $t$ في $u = 25 - t^{2}$ .

$u_{lower} = 25 - 0^{2}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 25 - 0$

خطوة 1.3.1.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$u_{lower} = 25 + 0$

خطوة 1.3.2

أضف $25$ و $0$ .

$u_{lower} = 25$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $t$ في $u = 25 - t^{2}$ .

$u_{upper} = 25 - 5^{2}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$u_{upper} = 25 - 1 \cdot 25$

خطوة 1.5.1.2

اضرب $- 1$ في $25$ .

$u_{upper} = 25 - 25$

خطوة 1.5.2

اطرح $25$ من $25$ .

$u_{upper} = 0$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 25$

$u_{upper} = 0$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{25}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int_{25}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

خطوة 2.2

اجمع $\sqrt{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int_{25}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{25}^{0} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{2} \int_{25}^{0} \sqrt{u} d u)$

خطوة 5

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \int_{25}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{25}^{0}$

خطوة 7

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احسِب قيمة $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ في $0$ وفي $25$ .

$- \frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}})$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}})$

خطوة 7.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}})$

خطوة 7.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}})$

خطوة 7.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}})$

خطوة 7.2.4

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}})$

خطوة 7.2.5

اضرب $\frac{2}{3}$ في $0$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}})$

خطوة 7.2.6

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}})$

خطوة 7.2.7

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})})$

خطوة 7.2.8

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.8.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})})$

خطوة 7.2.8.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 5^{3})$

خطوة 7.2.9

ارفع $5$ إلى القوة $3$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 125)$

خطوة 7.2.10

اضرب $125$ في $- 1$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 125 (\frac{2}{3}))$

خطوة 7.2.11

اجمع $- 125$ و $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{- 125 \cdot 2}{3})$

خطوة 7.2.12

اضرب $- 125$ في $2$ .

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{- 250}{3})$

خطوة 7.2.13

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{250}{3})$

خطوة 7.2.14

اطرح $\frac{250}{3}$ من $0$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{250}{3})$

خطوة 7.2.15

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{250}{3}$

خطوة 7.2.16

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{250}{3}$

خطوة 7.2.17

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{250}{3}$ .

$\frac{250}{2 \cdot 3}$

خطوة 7.2.18

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{250}{6}$

خطوة 7.2.19

احذِف العامل المشترك لـ $250$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.19.1

أخرِج العامل $2$ من $250$ .

$\frac{2 (125)}{6}$

خطوة 7.2.19.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.19.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{2 \cdot 125}{2 \cdot 3}$

خطوة 7.2.19.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 125}{2 \cdot 3}$

خطوة 7.2.19.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{125}{3}$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{125}{3}$

الصيغة العشرية:

$41.\overline{6}$

صيغة العدد الذي به كسر:

$41 \frac{2}{3}$

خطوة 9