حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\ln (2)} \frac{e^{x} + e^{- x}}{3} d x$

خطوة 1

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{\ln (2)} e^{x} + e^{- x} d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{3} (\int_{0}^{\ln (2)} e^{x} d x + \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x)$

خطوة 3

تكامل $e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x}$ .

$\frac{1}{3} (e^{x}]_{0}^{\ln (2)} + \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x)$

خطوة 4

لنفترض أن $u = - x$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = - x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 4.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 4.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 4.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

خطوة 4.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 4.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = - x$ .

$u_{upper} = - \ln (2)$

خطوة 4.5

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - \ln (2)$

خطوة 4.6

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\frac{1}{3} (e^{x}]_{0}^{\ln (2)} + \int_{0}^{- \ln (2)} - e^{u} d u)$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} (e^{x}]_{0}^{\ln (2)} - \int_{0}^{- \ln (2)} e^{u} d u)$

خطوة 6

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} (e^{x}]_{0}^{\ln (2)} - (e^{u}]_{0}^{- \ln (2)}))$

خطوة 7

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احسِب قيمة $e^{x}$ في $\ln (2)$ وفي $0$ .

$\frac{1}{3} ((e^{\ln (2)}) - e^{0} - (e^{u}]_{0}^{- \ln (2)}))$

خطوة 7.2

احسِب قيمة $e^{u}$ في $- \ln (2)$ وفي $0$ .

$\frac{1}{3} ((e^{\ln (2)}) - e^{0} - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0}))$

خطوة 7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$\frac{1}{3} (2 - e^{0} - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0}))$

خطوة 7.3.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{1}{3} (2 - 1 \cdot 1 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0}))$

خطوة 7.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{3} (2 - 1 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0}))$

خطوة 7.3.4

اطرح $1$ من $2$ .

$\frac{1}{3} (1 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0}))$

خطوة 7.3.5

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{1}{3} (1 - (e^{- \ln (2)} - 1 \cdot 1))$

خطوة 7.3.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{3} (1 - (e^{- \ln (2)} - 1))$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1.1

بسّط $- \ln (2)$ بنقل $- 1$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{1}{3} (1 - (e^{\ln (2^{- 1})} - 1))$

خطوة 8.1.1.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$\frac{1}{3} (1 - (2^{- 1} - 1))$

خطوة 8.1.1.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} (1 - (\frac{1}{2} - 1))$

خطوة 8.1.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (1 - (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}))$

خطوة 8.1.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (1 - (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}))$

خطوة 8.1.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{3} (1 - \frac{1 - 1 \cdot 2}{2})$

خطوة 8.1.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{3} (1 - \frac{1 - 2}{2})$

خطوة 8.1.5.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{3} (1 - \frac{- 1}{2})$

خطوة 8.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{3} (1 - - \frac{1}{2})$

خطوة 8.1.7

اضرب $- - \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.7.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{1}{3} (1 + 1 (\frac{1}{2}))$

خطوة 8.1.7.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{3} (1 + \frac{1}{2})$

خطوة 8.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{2} + \frac{1}{2})$

خطوة 8.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 + 1}{2}$

خطوة 8.4

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}$

خطوة 8.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}$

خطوة 8.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2}$

خطوة 9

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{2}$

الصيغة العشرية:

$0.5$

خطوة 10