حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\ln (2)} 2 e^{3 x} d x$

خطوة 1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int_{0}^{\ln (2)} e^{3 x} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = 3 x$ . إذن $d u = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = 3 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 2.1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

خطوة 2.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$3$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

خطوة 2.3

اضرب $3$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \ln (2)$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

بسّط $3 \ln (2)$ بنقل $3$ داخل اللوغاريتم.

$u_{upper} = \ln (2^{3})$

خطوة 2.5.2

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$u_{upper} = \ln (8)$

خطوة 2.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (8)$

خطوة 2.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$2 \int_{0}^{\ln (8)} e^{u} \frac{1}{3} d u$

خطوة 3

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{3}$ .

$2 \int_{0}^{\ln (8)} \frac{e^{u}}{3} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$2 (\frac{1}{3} \int_{0}^{\ln (8)} e^{u} d u)$

خطوة 5

اجمع $\frac{1}{3}$ و $2$ .

$\frac{2}{3} \int_{0}^{\ln (8)} e^{u} d u$

خطوة 6

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\frac{2}{3} e^{u}]_{0}^{\ln (8)}$

خطوة 7

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احسِب قيمة $e^{u}$ في $\ln (8)$ وفي $0$ .

$\frac{2}{3} ((e^{\ln (8)}) - e^{0})$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$\frac{2}{3} (8 - e^{0})$

خطوة 7.2.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{2}{3} (8 - 1 \cdot 1)$

خطوة 7.2.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2}{3} (8 - 1)$

خطوة 7.2.4

اطرح $1$ من $8$ .

$\frac{2}{3} \cdot 7$

خطوة 7.2.5

اجمع $\frac{2}{3}$ و $7$ .

$\frac{2 \cdot 7}{3}$

خطوة 7.2.6

اضرب $2$ في $7$ .

$\frac{14}{3}$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{14}{3}$

الصيغة العشرية:

$4.\overline{6}$

صيغة العدد الذي به كسر:

$4 \frac{2}{3}$

خطوة 9