حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} 5 x e^{2 x} d x$

خطوة 1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$5 \int_{0}^{1} x e^{2 x} d x$

خطوة 2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{2 x}$ .

$5 (x (\frac{1}{2} e^{2 x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{2 x}$ .

$5 (x \frac{e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

خطوة 3.2

اجمع $x$ و $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

خطوة 3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{2 x}$ .

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{2 x} d x))$

خطوة 5

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 5.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 5.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 5.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

خطوة 5.3

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 5.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1$

خطوة 5.5

اضرب $2$ في $1$ .

$u_{upper} = 2$

خطوة 5.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

خطوة 5.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{u} \frac{1}{2} d u)$

خطوة 6

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{2} \int_{0}^{2} \frac{e^{u}}{2} d u)$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{u} d u))$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{2} e^{u} d u)$

خطوة 8.2

اضرب $2$ في $2$ .

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{4} \int_{0}^{2} e^{u} d u)$

خطوة 9

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{4} e^{u}]_{0}^{2})$

خطوة 10

اجمع $e^{u}]_{0}^{2}$ و $\frac{1}{4}$ .

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{e^{u}]_{0}^{2}}{4})$

خطوة 11

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

احسِب قيمة $\frac{x e^{2 x}}{2}$ في $1$ وفي $0$ .

$5 ((\frac{1 e^{2 \cdot 1}}{2}) - \frac{0 e^{2 \cdot 0}}{2} - \frac{e^{u}]_{0}^{2}}{4})$

خطوة 11.2

احسِب قيمة $e^{u}$ في $2$ وفي $0$ .

$5 ((\frac{1 e^{2 \cdot 1}}{2}) - \frac{0 e^{2 \cdot 0}}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

خطوة 11.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

اضرب $2$ في $1$ .

$5 (\frac{1 e^{2}}{2} - \frac{0 e^{2 \cdot 0}}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

خطوة 11.3.2

اضرب $e^{2}$ في $1$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{0 e^{2 \cdot 0}}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

خطوة 11.3.3

اضرب $2$ في $0$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{0 e^{0}}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

خطوة 11.3.4

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

خطوة 11.3.5

اضرب $0$ في $1$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{0}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

خطوة 11.3.6

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.6.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

خطوة 11.3.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

خطوة 11.3.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

خطوة 11.3.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{0}{1} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

خطوة 11.3.6.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - 0 - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

خطوة 11.3.7

اضرب $- 1$ في $0$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} + 0 - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

خطوة 11.3.8

أضف $\frac{e^{2}}{2}$ و $0$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

خطوة 11.3.9

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{e^{2} - 1 \cdot 1}{4})$

خطوة 11.3.10

اضرب $- 1$ في $1$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{e^{2} - 1}{4})$

خطوة 11.3.11

لكتابة $\frac{e^{2}}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{2} - 1}{4})$

خطوة 11.3.12

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $4$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.12.1

اضرب $\frac{e^{2}}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{e^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{e^{2} - 1}{4})$

خطوة 11.3.12.2

اضرب $2$ في $2$ .

$5 (\frac{e^{2} \cdot 2}{4} - \frac{e^{2} - 1}{4})$

خطوة 11.3.13

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$5 \frac{e^{2} \cdot 2 - (e^{2} - 1)}{4}$

خطوة 11.3.14

انقُل $2$ إلى يسار $e^{2}$ .

$5 \frac{2 \cdot e^{2} - (e^{2} - 1)}{4}$

خطوة 11.3.15

اجمع $5$ و $\frac{2 e^{2} - (e^{2} - 1)}{4}$ .

$\frac{5 (2 e^{2} - (e^{2} - 1))}{4}$

خطوة 12

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{5 (2 e^{2} - e^{2} - - 1)}{4}$

خطوة 12.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{5 (2 e^{2} - e^{2} + 1)}{4}$

خطوة 12.3

اطرح $e^{2}$ من $2 e^{2}$ .

$\frac{5 (e^{2} + 1)}{4}$

خطوة 13

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{5 (e^{2} + 1)}{4}$

الصيغة العشرية:

$10.48632012 \dots$

خطوة 14