حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} x e^{- 9 x^{2}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{2} = e^{- 9 x^{2}}$ . إذن $d u_{2} = - 18 x e^{- 9 x^{2}} d x$ ، لذا $- \frac{1}{18} d u_{2} = x e^{- 9 x^{2}} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{2} = e^{- 9 x^{2}}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $e^{- 9 x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- 9 x^{2}}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - 9 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $- 9 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $- 9 x^{2}$ .

$e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 9 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- 9 x^{2}} (- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$e^{- 9 x^{2}} (- 9 (2 x))$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $- 9$ .

$e^{- 9 x^{2}} (- 18 x)$

خطوة 1.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

أعِد ترتيب عوامل $e^{- 9 x^{2}} (- 18 x)$ .

$- 18 e^{- 9 x^{2}} x$

خطوة 1.1.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $- 18 e^{- 9 x^{2}} x$ .

$- 18 x e^{- 9 x^{2}}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u_{2} = e^{- 9 x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{- 9 \cdot 0^{2}}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = e^{- 9 \cdot 0}$

خطوة 1.3.2

اضرب $- 9$ في $0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

خطوة 1.3.3

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u_{2} = e^{- 9 x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{- 9 \cdot 1^{2}}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{upper} = e^{- 9 \cdot 1}$

خطوة 1.5.2

اضرب $- 9$ في $1$ .

$u_{upper} = e^{- 9}$

خطوة 1.5.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{e^{9}}$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{e^{9}}$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{\frac{1}{e^{9}}} \frac{1}{- 18} d u_{2}$

خطوة 2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int_{1}^{\frac{1}{e^{9}}} - \frac{1}{18} d u_{2}$

خطوة 3

طبّق قاعدة الثابت.

$- \frac{1}{18} u_{2}]_{1}^{\frac{1}{e^{9}}}$

خطوة 4

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة $- \frac{1}{18} u_{2}$ في $\frac{1}{e^{9}}$ وفي $1$ .

$(- \frac{1}{18} \cdot \frac{1}{e^{9}}) + \frac{1}{18} \cdot 1$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اضرب $\frac{1}{e^{9}}$ في $\frac{1}{18}$ .

$- \frac{1}{e^{9} \cdot 18} + \frac{1}{18} \cdot 1$

خطوة 4.2.2

انقُل $18$ إلى يسار $e^{9}$ .

$- \frac{1}{18 \cdot e^{9}} + \frac{1}{18} \cdot 1$

خطوة 4.2.3

اضرب $\frac{1}{18}$ في $1$ .

$- \frac{1}{18 e^{9}} + \frac{1}{18}$

خطوة 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \frac{1}{18 e^{9}} + \frac{1}{18}$

الصيغة العشرية:

$0.05554869 \dots$

خطوة 6