حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} {(x^{2} + 1)}^{10} (2 x) d x$

خطوة 1

انقُل $2$ إلى يسار ${(x^{2} + 1)}^{10}$ .

$\int_{0}^{1} 2 {(x^{2} + 1)}^{10} x d x$

خطوة 2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int_{0}^{1} {(x^{2} + 1)}^{10} x d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u = x^{2} + 1$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = x^{2} + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

خطوة 3.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 3.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 3.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 3.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 0 + 1$

خطوة 3.3.2

أضف $0$ و $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 3.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

خطوة 3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{upper} = 1 + 1$

خطوة 3.5.2

أضف $1$ و $1$ .

$u_{upper} = 2$

خطوة 3.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

خطوة 3.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$2 \int_{1}^{2} u^{10} \frac{1}{2} d u$

خطوة 4

اجمع $u^{10}$ و $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{1}^{2} \frac{u^{10}}{2} d u$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$2 (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{10} d u)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{1}^{2} u^{10} d u$

خطوة 6.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{2} \int_{1}^{2} u^{10} d u$

خطوة 6.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 \int_{1}^{2} u^{10} d u$

خطوة 6.3

اضرب $\int_{1}^{2} u^{10} d u$ في $1$ .

$\int_{1}^{2} u^{10} d u$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{10}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{11} u^{11}$ .

$\frac{1}{11} u^{11}]_{1}^{2}$

خطوة 8

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احسِب قيمة $\frac{1}{11} u^{11}$ في $2$ وفي $1$ .

$(\frac{1}{11} \cdot 2^{11}) - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

خطوة 8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ارفع $2$ إلى القوة $11$ .

$\frac{1}{11} \cdot 2048 - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

خطوة 8.2.2

اجمع $\frac{1}{11}$ و $2048$ .

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

خطوة 8.2.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11} \cdot 1$

خطوة 8.2.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11}$

خطوة 8.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2048 - 1}{11}$

خطوة 8.2.6

اطرح $1$ من $2048$ .

$\frac{2047}{11}$

خطوة 9

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{2047}{11}$

الصيغة العشرية:

$186.\overline{09}$

صيغة العدد الذي به كسر:

$186 \frac{1}{11}$

خطوة 10