حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{x^{4} - 1} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x^{4} - 1$ . إذن $d u = 4 x^{3} d x$ ، لذا $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x^{4} - 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x^{4} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 x^{3} + 0$

خطوة 1.1.5

أضف $4 x^{3}$ و $0$ .

$4 x^{3}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = x^{4} - 1$ .

$u_{lower} = 0^{4} - 1$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 0 - 1$

خطوة 1.3.2

اطرح $1$ من $0$ .

$u_{lower} = - 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = x^{4} - 1$ .

$u_{upper} = 1^{4} - 1$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{upper} = 1 - 1$

خطوة 1.5.2

اطرح $1$ من $1$ .

$u_{upper} = 0$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 0$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{- 1}^{0} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{4}$ .

$\int_{- 1}^{0} \frac{1}{u \cdot 4} d u$

خطوة 2.2

انقُل $4$ إلى يسار $u$ .

$\int_{- 1}^{0} \frac{1}{4 u} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{0} \frac{1}{u} d u$

خطوة 4

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} \ln (| u |)]_{- 1}^{0}$

خطوة 5

احسِب قيمة $\ln (| u |)$ في $0$ وفي $- 1$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| 0 |) - \ln (| - 1 |))$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{4} \ln (\frac{| 0 |}{| - 1 |})$

خطوة 6.2

اجمع $\frac{1}{4}$ و $\ln (\frac{| 0 |}{| - 1 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 0 |}{| - 1 |})}{4}$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $0$ تساوي $0$ .

$\frac{\ln (\frac{0}{| - 1 |})}{4}$

خطوة 7.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $- 1$ و $0$ تساوي $1$ .

$\frac{\ln (\frac{0}{1})}{4}$

خطوة 7.3

اقسِم $0$ على $1$ .

$\frac{\ln (0)}{4}$

خطوة 7.4

اللوغاريتم الطبيعي للصفر يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\ln (0)}{4}$

خطوة 8

اللوغاريتم الطبيعي للصفر يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف