حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\sqrt{15}} \frac{8 x}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x$

خطوة 1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $8$ خارج التكامل.

$8 \int_{0}^{\sqrt{15}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = x^{2} + 1$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = x^{2} + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

خطوة 2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 2.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 0 + 1$

خطوة 2.3.2

أضف $0$ و $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = {\sqrt{15}}^{2} + 1$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أعِد كتابة ${\sqrt{15}}^{2}$ بالصيغة $15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{15}$ في صورة $15^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = {(15^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

خطوة 2.5.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = 15^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

خطوة 2.5.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$u_{upper} = 15^{\frac{2}{2}} + 1$

خطوة 2.5.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = 15^{\frac{2}{2}} + 1$

خطوة 2.5.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = 15^{1} + 1$

خطوة 2.5.1.5

احسِب قيمة الأُس.

$u_{upper} = 15 + 1$

خطوة 2.5.2

أضف $15$ و $1$ .

$u_{upper} = 16$

خطوة 2.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 16$

خطوة 2.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$8 \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{u}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$8 \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

خطوة 3.2

انقُل $2$ إلى يسار $\sqrt{u}$ .

$8 \int_{1}^{16} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$8 (\frac{1}{2} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

خطوة 5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $8$ .

$\frac{8}{2} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 5.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 5.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 5.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 5.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4}{1} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 5.1.2.2.4

اقسِم $4$ على $1$ .

$4 \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 5.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \int_{1}^{16} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 5.2.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$4 \int_{1}^{16} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 5.2.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int_{1}^{16} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 5.2.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$4 \int_{1}^{16} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 5.2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$4 \int_{1}^{16} u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{16})$

خطوة 7

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احسِب قيمة $2 u^{\frac{1}{2}}$ في $16$ وفي $1$ .

$4 ((2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$4 (2 \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

خطوة 7.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (2 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

خطوة 7.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 (2 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

خطوة 7.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$4 (2 \cdot 4^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

خطوة 7.2.4

احسِب قيمة الأُس.

$4 (2 \cdot 4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

خطوة 7.2.5

اضرب $2$ في $4$ .

$4 (8 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

خطوة 7.2.6

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$4 (8 - 2 \cdot 1)$

خطوة 7.2.7

اضرب $- 2$ في $1$ .

$4 (8 - 2)$

خطوة 7.2.8

اطرح $2$ من $8$ .

$4 \cdot 6$

خطوة 7.2.9

اضرب $4$ في $6$ .

$24$

خطوة 8