حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (3 t) d t$

خطوة 1

لنفترض أن

$u = 3 t$ . إذن

$d u = 3 d t$ ، لذا

$\frac{1}{3} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام

$u$ و

$d$

$u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن

$u = 3 t$ . أوجِد

$\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة

$3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

خطوة 1.1.2

بما أن

$3$ عدد ثابت بالنسبة إلى

$t$ ، إذن مشتق

$3 t$ بالنسبة إلى

$t$ يساوي

$3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن

$\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو

$n t^{n - 1}$ حيث

$n = 1$ .

$3 \cdot 1$

خطوة 1.1.4

اضرب

$3$ في

$1$ .

$3$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن

$t$ في

$u = 3 t$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

خطوة 1.3

اضرب

$3$ في

$0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن

$t$ في

$u = 3 t$ .

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3}$

خطوة 1.5

ألغِ العامل المشترك لـ

$3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3}$

خطوة 1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = π$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ

$u_{lower}$ و

$u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام

$u$ و

$d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{π} \sin (u) \frac{1}{3} d u$

خطوة 2

اجمع

$\sin (u)$ و

$\frac{1}{3}$ .

$\int_{0}^{π} \frac{\sin (u)}{3} d u$

خطوة 3

بما أن

$\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى

$u$ ، انقُل

$\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

خطوة 4

تكامل

$\sin (u)$ بالنسبة إلى

$u$ هو

$- \cos (u)$ .

$\frac{1}{3} - \cos (u)]_{0}^{π}$

خطوة 5

احسِب قيمة

$- \cos (u)$ في

$π$ وفي

$0$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (π) + \cos (0))$

خطوة 6

القيمة الدقيقة لـ

$\cos (0)$ هي

$1$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (π) + 1)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$\frac{1}{3} (- - \cos (0) + 1)$

خطوة 7.2

القيمة الدقيقة لـ

$\cos (0)$ هي

$1$ .

$\frac{1}{3} (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

خطوة 7.3

اضرب

$- 1$ في

$1$ .

$\frac{1}{3} (- - 1 + 1)$

خطوة 7.4

اضرب

$- 1$ في

$- 1$ .

$\frac{1}{3} (1 + 1)$

خطوة 7.5

أضف

$1$ و

$1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2$

خطوة 7.6

اجمع

$\frac{1}{3}$ و

$2$ .

$\frac{2}{3}$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{2}{3}$

الصيغة العشرية:

$0.\overline{6}$