حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x {(3 x + 8)}^{11} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 3 x + 8$ . إذن $d u = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 3 x + 8$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $3 x + 8$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 8]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x + 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 + 0$

خطوة 1.1.4.2

أضف $3$ و $0$ .

$3$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int (\frac{u}{3} - \frac{8}{3}) u^{11} \frac{1}{3} d u$

خطوة 2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $u^{11}$ .

$\int (\frac{u}{3} - \frac{8}{3}) \frac{u^{11}}{3} d u$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \frac{u}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

خطوة 3.2

اضرب $\frac{u}{3}$ في $\frac{u^{11}}{3}$ .

$\int \frac{u \cdot u^{11}}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

خطوة 3.3

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{11}}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

خطوة 3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int \frac{u^{1 + 11}}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

خطوة 3.5

أضف $1$ و $11$ .

$\int \frac{u^{12}}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

خطوة 3.6

اضرب $3$ في $3$ .

$\int \frac{u^{12}}{9} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

خطوة 3.7

اجمع $- \frac{8}{3}$ و $\frac{u^{11}}{3}$ .

$\int \frac{u^{12}}{9} - \frac{8 u^{11}}{3 \cdot 3} d u$

خطوة 3.8

اضرب $3$ في $3$ .

$\int \frac{u^{12}}{9} - \frac{8 u^{11}}{9} d u$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{u^{12}}{9} d u + \int - \frac{8 u^{11}}{9} d u$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{9}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{9}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{9} \int u^{12} d u + \int - \frac{8 u^{11}}{9} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{12}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{13} u^{13}$ .

$\frac{1}{9} (\frac{1}{13} u^{13} + C) + \int - \frac{8 u^{11}}{9} d u$

خطوة 7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{9} (\frac{1}{13} u^{13} + C) - \int \frac{8 u^{11}}{9} d u$

خطوة 8

بما أن $\frac{8}{9}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{8}{9}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{9} (\frac{1}{13} u^{13} + C) - (\frac{8}{9} \int u^{11} d u)$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{11}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{12} u^{12}$ .

$\frac{1}{9} (\frac{1}{13} u^{13} + C) - \frac{8}{9} (\frac{1}{12} u^{12} + C)$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{13} u^{13} - \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{12} u^{12} + C$

خطوة 10.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اضرب $\frac{1}{9}$ في $\frac{1}{13}$ .

$\frac{1}{9 \cdot 13} u^{13} - \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{12} u^{12} + C$

خطوة 10.2.2

اضرب $9$ في $13$ .

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{12} u^{12} + C$

خطوة 10.2.3

اضرب $\frac{1}{12}$ في $\frac{8}{9}$ .

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{8}{12 \cdot 9} u^{12} + C$

خطوة 10.2.4

اضرب $12$ في $9$ .

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{8}{108} u^{12} + C$

خطوة 10.2.5

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $108$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.5.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{4 (2)}{108} u^{12} + C$

خطوة 10.2.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.5.2.1

أخرِج العامل $4$ من $108$ .

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 27} u^{12} + C$

خطوة 10.2.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 27} u^{12} + C$

خطوة 10.2.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{2}{27} u^{12} + C$

خطوة 11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x + 8$ .

$\frac{1}{117} {(3 x + 8)}^{13} - \frac{2}{27} {(3 x + 8)}^{12} + C$