حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x \arctan (7 x) d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \arctan (7 x)$ و $d v = x$ .

$\arctan (7 x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{7}{49 x^{2} + 1} d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\arctan (7 x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{7}{49 x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.2

اجمع $\arctan (7 x)$ و $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{7}{49 x^{2} + 1} d x$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{7}{49 x^{2} + 1} d x)$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع $x^{2}$ و $\frac{7}{49 x^{2} + 1}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2} \cdot 7}{49 x^{2} + 1} d x)$

خطوة 4.2

انقُل $7$ إلى يسار $x^{2}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{7 x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x$

خطوة 5

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $7$ خارج التكامل.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (7 \int \frac{x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $7$ في $- 1$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - 7 (\frac{1}{2}) \int \frac{x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x$

خطوة 6.2

اجمع $- 7$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} + \frac{- 7}{2} \int \frac{x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x$

خطوة 6.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} \int \frac{x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x$

خطوة 7

اقسِم $x^{2}$ على $49 x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$49 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

خطوة 7.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $49 x^{2}$ .

							$\frac{1}{49}$
	$49 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

خطوة 7.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

						$\frac{1}{49}$
$49 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$\frac{1}{49}$

خطوة 7.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{2} + 0 + \frac{1}{49}$

						$\frac{1}{49}$
$49 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$\frac{1}{49}$

خطوة 7.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

						$\frac{1}{49}$
$49 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$\frac{1}{49}$
									-	$\frac{1}{49}$

خطوة 7.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} \int \frac{1}{49} - \frac{1}{49 (49 x^{2} + 1)} d x$

خطوة 8

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\int \frac{1}{49} d x + \int - \frac{1}{49 (49 x^{2} + 1)} d x)$

خطوة 9

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C + \int - \frac{1}{49 (49 x^{2} + 1)} d x)$

خطوة 10

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \int \frac{1}{49 (49 x^{2} + 1)} d x)$

خطوة 11

بما أن $\frac{1}{49}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{49}$ خارج التكامل.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - (\frac{1}{49} \int \frac{1}{49 x^{2} + 1} d x))$

خطوة 12

أعِد ترتيب $49 x^{2}$ و $1$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} \int \frac{1}{1 + 49 x^{2}} d x)$

خطوة 13

أخرِج العامل $49$ من $1 + 49 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أخرِج العامل $49$ من $1$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} \int \frac{1}{49 (\frac{1}{49}) + 49 x^{2}} d x)$

خطوة 13.2

أخرِج العامل $49$ من $49 x^{2}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} \int \frac{1}{49 (\frac{1}{49}) + 49 (x^{2})} d x)$

خطوة 13.3

أخرِج العامل $49$ من $49 (\frac{1}{49}) + 49 (x^{2})$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} \int \frac{1}{49 (\frac{1}{49} + x^{2})} d x)$

خطوة 14

بما أن $\frac{1}{49}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{49}$ خارج التكامل.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} (\frac{1}{49} \int \frac{1}{\frac{1}{49} + x^{2}} d x))$

خطوة 15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

اضرب $\frac{1}{49}$ في $\frac{1}{49}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49 \cdot 49} \int \frac{1}{\frac{1}{49} + x^{2}} d x)$

خطوة 15.2

اضرب $49$ في $49$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} \int \frac{1}{\frac{1}{49} + x^{2}} d x)$

خطوة 16

أعِد كتابة $\frac{1}{49}$ بالصيغة ${(\frac{1}{7})}^{2}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} \int \frac{1}{{(\frac{1}{7})}^{2} + x^{2}} d x)$

خطوة 17

تكامل $\frac{1}{{(\frac{1}{7})}^{2} + x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{\frac{1}{7}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{7}}) + C$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (\frac{1}{\frac{1}{7}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{7}}) + C))$

خطوة 18

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{7}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (1 \cdot 7 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{7}}) + C))$

خطوة 18.1.2

اضرب $7$ في $1$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (7 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{7}}) + C))$

خطوة 18.1.3

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{7}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (7 \arctan (x \cdot 7) + C))$

خطوة 18.1.4

انقُل $7$ إلى يسار $x$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (7 \arctan (7 x) + C))$

خطوة 18.2

بسّط.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343}) + C$

خطوة 18.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.3.1

لكتابة $- \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343}) \cdot \frac{2}{2} + C$

خطوة 18.3.2

اجمع $- \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} + \frac{- \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343}) \cdot 2}{2} + C$

خطوة 18.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343}) \cdot 2}{2} + C$

خطوة 18.3.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - 2 (\frac{7}{2}) (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

خطوة 18.3.5

اجمع $- 2$ و $\frac{7}{2}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{- 2 \cdot 7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

خطوة 18.3.6

اضرب $- 2$ في $7$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{- 14}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

خطوة 18.3.7

احذِف العامل المشترك لـ $- 14$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.3.7.1

أخرِج العامل $2$ من $- 14$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

خطوة 18.3.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.3.7.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 7}{2 (1)} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

خطوة 18.3.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 1} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

خطوة 18.3.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{- 7}{1} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

خطوة 18.3.7.2.4

اقسِم $- 7$ على $1$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - 7 (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

خطوة 18.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - 7 \frac{x}{49} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

خطوة 18.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.4.2.1

أخرِج العامل $7$ من $- 7$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + 7 (- 1) \frac{x}{49} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

خطوة 18.4.2.2

أخرِج العامل $7$ من $49$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + 7 \cdot - 1 \frac{x}{7 \cdot 7} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

خطوة 18.4.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + 7 \cdot - 1 \frac{x}{7 \cdot 7} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

خطوة 18.4.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

خطوة 18.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.4.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\arctan (7 x)}{343}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} - 7 \frac{- \arctan (7 x)}{343}}{2} + C$

خطوة 18.4.3.2

أخرِج العامل $7$ من $- 7$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + 7 (- 1) \frac{- \arctan (7 x)}{343}}{2} + C$

خطوة 18.4.3.3

أخرِج العامل $7$ من $343$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + 7 \cdot - 1 \frac{- \arctan (7 x)}{7 \cdot 49}}{2} + C$

خطوة 18.4.3.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + 7 \cdot - 1 \frac{- \arctan (7 x)}{7 \cdot 49}}{2} + C$

خطوة 18.4.3.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} - \frac{- \arctan (7 x)}{49}}{2} + C$

خطوة 18.4.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.4.4.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} - - \frac{\arctan (7 x)}{49}}{2} + C$

خطوة 18.4.4.2

اضرب $- - \frac{\arctan (7 x)}{49}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.4.4.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + 1 \frac{\arctan (7 x)}{49}}{2} + C$

خطوة 18.4.4.2.2

اضرب $\frac{\arctan (7 x)}{49}$ في $1$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + \frac{\arctan (7 x)}{49}}{2} + C$

خطوة 19

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} (\arctan (7 x) x^{2} - \frac{1}{7} x + \frac{1}{49} \arctan (7 x)) + C$