حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = e^{- x} \ln (x)$ , $(1, 0)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 1$ و $y = 0$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = e^{- x}$ و $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{- x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 1.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$e^{- x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 1.3

اجمع $e^{- x}$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- x$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 1.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 1.5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 1.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

خطوة 1.5.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{- x} \cdot - 1)$

خطوة 1.5.3.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (- 1 \cdot e^{- x})$

خطوة 1.5.3.3

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (- e^{- x})$

خطوة 1.5.3.4

أعِد ترتيب الحدود.

$- e^{- x} \ln (x) + \frac{e^{- x}}{x}$

خطوة 1.6

احسِب قيمة المشتق في $x = 1$ .

$- e^{- (1)} \ln (1) + \frac{e^{- (1)}}{1}$

خطوة 1.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- e^{- (1)} \ln (1) + \frac{e^{- 1}}{1}$

خطوة 1.7.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- e^{- 1} \ln (1) + \frac{e^{- 1}}{1}$

خطوة 1.7.2.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{e} \ln (1) + \frac{e^{- 1}}{1}$

خطوة 1.7.2.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$- \frac{1}{e} \cdot 0 + \frac{e^{- 1}}{1}$

خطوة 1.7.2.4

اضرب $- \frac{1}{e} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.2.4.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$0 \frac{1}{e} + \frac{e^{- 1}}{1}$

خطوة 1.7.2.4.2

اضرب $0$ في $\frac{1}{e}$ .

$0 + \frac{e^{- 1}}{1}$

خطوة 1.7.2.5

انقُل $e^{- 1}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{e}$

خطوة 1.7.3

أضف $0$ و $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $\frac{1}{e}$ ونقطة مُعطاة $(1, 0)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = \frac{1}{e} \cdot (x - (1))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y + 0 = \frac{1}{e} \cdot (x - 1)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أضف $y$ و $0$ .

$y = \frac{1}{e} \cdot (x - 1)$

خطوة 2.3.2

بسّط $\frac{1}{e} \cdot (x - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{1}{e} x + \frac{1}{e} \cdot - 1$

خطوة 2.3.2.2

اجمع $\frac{1}{e}$ و $x$ .

$y = \frac{x}{e} + \frac{1}{e} \cdot - 1$

خطوة 2.3.2.3

اجمع $\frac{1}{e}$ و $- 1$ .

$y = \frac{x}{e} + \frac{- 1}{e}$

خطوة 2.3.2.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{x}{e} - \frac{1}{e}$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{1}{e} x - \frac{1}{e}$

خطوة 3