حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \arcsin (3 x) d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \arcsin (3 x)$ و $d v = 1$ .

$\arcsin (3 x) x - \int x \frac{3}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $x$ و $\frac{3}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}$ .

$\arcsin (3 x) x - \int \frac{x \cdot 3}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x$

خطوة 2.2

انقُل $3$ إلى يسار $x$ .

$\arcsin (3 x) x - \int \frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x$

خطوة 3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$\arcsin (3 x) x - (3 \int \frac{x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x)$

خطوة 4

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\arcsin (3 x) x - 3 \int \frac{x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u = 1 - 9 x^{2}$ . إذن $d u = - 18 x d x$ ، لذا $- \frac{1}{18} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = 1 - 9 x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $1 - 9 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 9 x^{2}]$

خطوة 5.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - 9 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

خطوة 5.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

خطوة 5.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 9 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 5.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 - 9 (2 x)$

خطوة 5.1.3.3

اضرب $2$ في $- 9$ .

$0 - 18 x$

خطوة 5.1.4

اطرح $18 x$ من $0$ .

$- 18 x$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\arcsin (3 x) x - 3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 18} d u$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\arcsin (3 x) x - 3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{18}) d u$

خطوة 6.2

اضرب $\frac{1}{\sqrt{u}}$ في $\frac{1}{18}$ .

$\arcsin (3 x) x - 3 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 18} d u$

خطوة 6.3

انقُل $18$ إلى يسار $\sqrt{u}$ .

$\arcsin (3 x) x - 3 \int - \frac{1}{18 \sqrt{u}} d u$

خطوة 7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\arcsin (3 x) x - 3 (- \int \frac{1}{18 \sqrt{u}} d u)$

خطوة 8

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$\arcsin (3 x) x + 3 \int \frac{1}{18 \sqrt{u}} d u$

خطوة 9

بما أن $\frac{1}{18}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{18}$ خارج التكامل.

$\arcsin (3 x) x + 3 (\frac{1}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

خطوة 10

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

اجمع $\frac{1}{18}$ و $3$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{3}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 10.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $3$ و $18$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{3 (1)}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 10.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $18$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 10.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\arcsin (3 x) x + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 10.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\arcsin (3 x) x + \frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 10.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{1}{6} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 10.2.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{1}{6} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 10.2.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{1}{6} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 10.2.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{1}{6} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 10.2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\arcsin (3 x) x + \frac{1}{6} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{1}{6} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

خطوة 12

أعِد كتابة $\arcsin (3 x) x + \frac{1}{6} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ بالصيغة $\arcsin (3 x) x + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} + C$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

خطوة 13

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 - 9 x^{2}$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{{(1 - 9 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

خطوة 14

أعِد ترتيب الحدود.

$\arcsin (3 x) x + \frac{1}{3} {(1 - 9 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$