حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int arccsc (x) d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = arccsc (x)$ و $d v = 1$ .

$arccsc (x) x - \int x (- \frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}) d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}$ .

$arccsc (x) x - \int - \frac{x}{x \sqrt{x^{2} - 1}} d x$

خطوة 2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$arccsc (x) x - \int - \frac{x}{x \sqrt{x^{2} - 1}} d x$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$arccsc (x) x - \int - \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$arccsc (x) x - - \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$arccsc (x) x + 1 \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

خطوة 4.2

اضرب $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$ في $1$ .

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

خطوة 5

لنفترض أن $x = \sec (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $\sec (t) \tan (t)$ موجبة.

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 6

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t)}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 6.1.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\tan (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 6.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\tan (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أخرِج العامل $\tan (t)$ من $\sec (t) \tan (t)$ .

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\tan (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

خطوة 6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\tan (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

خطوة 6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$arccsc (x) x + \int \sec (t) d t$

خطوة 7

تكامل $\sec (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$arccsc (x) x + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $arcsec (x)$ .

$arccsc (x) x + \ln (| \sec (arcsec (x)) + \tan (arcsec (x)) |) + C$