حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{1}{y^{2} - y} d y$

خطوة 1

اكتب الكسر باستخدام التفكيك الكسري الجزئي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2} - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$\frac{1}{y \cdot y - y}$

خطوة 1.1.1.2

أخرِج العامل $y$ من $- y$ .

$\frac{1}{y \cdot y + y \cdot - 1}$

خطوة 1.1.1.3

أخرِج العامل $y$ من $y \cdot y + y \cdot - 1$ .

$\frac{1}{y (y - 1)}$

خطوة 1.1.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $B$ .

$\frac{A}{y} + \frac{B}{y - 1}$

خطوة 1.1.3

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $y (y - 1)$ .

$\frac{1 (y (y - 1))}{y (y - 1)} = \frac{A (y (y - 1))}{y} + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

خطوة 1.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (y (y - 1))}{y (y - 1)} = \frac{A (y (y - 1))}{y} + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

خطوة 1.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 (y - 1)}{y - 1} = \frac{A (y (y - 1))}{y} + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

خطوة 1.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (y - 1)}{y - 1} = \frac{A (y (y - 1))}{y} + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

خطوة 1.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 = \frac{A (y (y - 1))}{y} + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

خطوة 1.1.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = \frac{A (y (y - 1))}{y} + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

خطوة 1.1.6.1.2

اقسِم $A (y - 1)$ على $1$ .

$1 = A (y - 1) + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

خطوة 1.1.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = A y + A \cdot - 1 + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

خطوة 1.1.6.3

انقُل $- 1$ إلى يسار $A$ .

$1 = A y - 1 \cdot A + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

خطوة 1.1.6.4

أعِد كتابة $- 1 A$ بالصيغة $- A$ .

$1 = A y - A + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

خطوة 1.1.6.5

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = A y - A + \frac{B (y (y - 1))}{y - 1}$

خطوة 1.1.6.5.2

اقسِم $(B) (y)$ على $1$ .

$1 = A y - A + (B) (y)$

$1 = A y - A + B y$

خطوة 1.1.7

انقُل $- A$ .

$1 = A y + B y - A$

خطوة 1.2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $y$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$0 = A + B$

خطوة 1.2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $y$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$1 = - 1 A$

خطوة 1.2.3

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A$

خطوة 1.3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد قيمة $A$ في $1 = - 1 A$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- 1 A = 1$ .

$- 1 A = 1$

$0 = A + B$

خطوة 1.3.1.2

اقسِم كل حد في $- 1 A = 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.2.1

اقسِم كل حد في $- 1 A = 1$ على $- 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

خطوة 1.3.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{A}{1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

خطوة 1.3.1.2.2.2

اقسِم $A$ على $1$ .

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

خطوة 1.3.1.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.2.3.1

اقسِم $1$ على $- 1$ .

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

خطوة 1.3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $- 1$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $0 = A + B$ بـ $- 1$ .

$0 = (- 1) + B$

$A = - 1$

خطوة 1.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.2.1

احذِف الأقواس.

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

خطوة 1.3.3

أوجِد قيمة $B$ في $0 = - 1 + B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- 1 + B = 0$ .

$- 1 + B = 0$

$A = - 1$

خطوة 1.3.3.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$B = 1$

$A = - 1$

$B = 1$

$A = - 1$

خطوة 1.3.4

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

$B = 1 A = - 1$

خطوة 1.3.5

اسرِد جميع الحلول.

$B = 1, A = - 1$

خطوة 1.4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A}{y} + \frac{B}{y - 1}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ .

$- \frac{1}{y} + \frac{1}{y - 1}$

خطوة 1.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int - \frac{1}{y} + \frac{1}{y - 1} d y$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int - \frac{1}{y} d y + \int \frac{1}{y - 1} d y$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{1}{y - 1} d y$

خطوة 4

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$- (\ln (| y |) + C) + \int \frac{1}{y - 1} d y$

خطوة 5

لنفترض أن $u = y - 1$ . إذن $d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = y - 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

خطوة 5.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y - 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

خطوة 5.1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 5.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$- (\ln (| y |) + C) + \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 6

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| y |) + C) + \ln (| u |) + C$

خطوة 7

بسّط.

$- \ln (| y |) + \ln (| u |) + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y - 1$ .

$- \ln (| y |) + \ln (| y - 1 |) + C$