حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{4}^{7} \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1} d t$

خطوة 1

لنفترض أن $u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ . إذن $d u = 2 d t$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}]$

خطوة 1.1.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d t} [\sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}]$ بالصيغة $\frac{d}{d t} [2 t + 1]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

أعِد كتابة $4 t^{2}$ بالصيغة ${(2 t)}^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t)}^{2} + 4 t + 1}]$

خطوة 1.1.2.1.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t)}^{2} + 4 t + 1^{2}}]$

خطوة 1.1.2.1.3

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$4 t = 2 \cdot (2 t) \cdot 1$

خطوة 1.1.2.1.4

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t)}^{2} + 2 \cdot (2 t) \cdot 1 + 1^{2}}]$

خطوة 1.1.2.1.5

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ، حيث $a = 2 t$ و $b = 1$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t + 1)}^{2}}]$

خطوة 1.1.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{d}{d t} [2 t + 1]$

خطوة 1.1.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 t + 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 1.1.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 1.1.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 1.1.6

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 1.1.7

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$2 + 0$

خطوة 1.1.8

أضف $2$ و $0$ .

$2$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $t$ في $u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ .

$u_{lower} = \sqrt{4 \cdot 4^{2} + 4 \cdot 4 + 1}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $4$ في $4^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

اضرب $4$ في $4^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $1$ .

$u_{lower} = \sqrt{4^{1} \cdot 4^{2} + 4 \cdot 4 + 1}$

خطوة 1.3.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$u_{lower} = \sqrt{4^{1 + 2} + 4 \cdot 4 + 1}$

خطوة 1.3.1.2

أضف $1$ و $2$ .

$u_{lower} = \sqrt{4^{3} + 4 \cdot 4 + 1}$

خطوة 1.3.2

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$u_{lower} = \sqrt{64 + 4 \cdot 4 + 1}$

خطوة 1.3.3

اضرب $4$ في $4$ .

$u_{lower} = \sqrt{64 + 16 + 1}$

خطوة 1.3.4

أضف $64$ و $16$ .

$u_{lower} = \sqrt{80 + 1}$

خطوة 1.3.5

أضف $80$ و $1$ .

$u_{lower} = \sqrt{81}$

خطوة 1.3.6

أعِد كتابة $81$ بالصيغة $9^{2}$ .

$u_{lower} = \sqrt{9^{2}}$

خطوة 1.3.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$u_{lower} = 9$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $t$ في $u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ .

$u_{upper} = \sqrt{4 \cdot 7^{2} + 4 \cdot 7 + 1}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$u_{upper} = \sqrt{4 \cdot 49 + 4 \cdot 7 + 1}$

خطوة 1.5.2

اضرب $4$ في $49$ .

$u_{upper} = \sqrt{196 + 4 \cdot 7 + 1}$

خطوة 1.5.3

اضرب $4$ في $7$ .

$u_{upper} = \sqrt{196 + 28 + 1}$

خطوة 1.5.4

أضف $196$ و $28$ .

$u_{upper} = \sqrt{224 + 1}$

خطوة 1.5.5

أضف $224$ و $1$ .

$u_{upper} = \sqrt{225}$

خطوة 1.5.6

أعِد كتابة $225$ بالصيغة $15^{2}$ .

$u_{upper} = \sqrt{15^{2}}$

خطوة 1.5.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$u_{upper} = 15$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 15$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{9}^{15} u \frac{1}{2} d u$

خطوة 2

اجمع $u$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int_{9}^{15} \frac{u}{2} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int_{9}^{15} u d u$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} u^{2}]_{9}^{15}$

خطوة 5

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة $\frac{1}{2} u^{2}$ في $15$ وفي $9$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 15^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 9^{2})$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ارفع $15$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 225 - \frac{1}{2} \cdot 9^{2})$

خطوة 5.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $225$ .

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - \frac{1}{2} \cdot 9^{2})$

خطوة 5.2.3

ارفع $9$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - \frac{1}{2} \cdot 81)$

خطوة 5.2.4

اضرب $81$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - 81 (\frac{1}{2}))$

خطوة 5.2.5

اجمع $- 81$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} + \frac{- 81}{2})$

خطوة 5.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - \frac{81}{2})$

خطوة 5.2.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{225 - 81}{2}$

خطوة 5.2.8

اطرح $81$ من $225$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{144}{2}$

خطوة 5.2.9

احذِف العامل المشترك لـ $144$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.9.1

أخرِج العامل $2$ من $144$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 72}{2}$

خطوة 5.2.9.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.9.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 72}{2 (1)}$

خطوة 5.2.9.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 72}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.2.9.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{72}{1}$

خطوة 5.2.9.2.4

اقسِم $72$ على $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 72$

خطوة 5.2.10

اجمع $\frac{1}{2}$ و $72$ .

$\frac{72}{2}$

خطوة 5.2.11

احذِف العامل المشترك لـ $72$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.11.1

أخرِج العامل $2$ من $72$ .

$\frac{2 \cdot 36}{2}$

خطوة 5.2.11.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.11.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 36}{2 (1)}$

خطوة 5.2.11.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 36}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.2.11.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{36}{1}$

خطوة 5.2.11.2.4

اقسِم $36$ على $1$ .

$36$

خطوة 6