حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 5 x e^{- 4 x} d x$

خطوة 1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$5 \int x e^{- 4 x} d x$

خطوة 2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{- 4 x}$ .

$5 (x (- \frac{1}{4} e^{- 4 x}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $e^{- 4 x}$ و $\frac{1}{4}$ .

$5 (x (- \frac{e^{- 4 x}}{4}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

خطوة 3.2

اجمع $x$ و $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ .

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

خطوة 3.3

اجمع $e^{- 4 x}$ و $\frac{1}{4}$ .

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

خطوة 4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - - \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + 1 \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

خطوة 5.2

اضرب $\int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x$ في $1$ .

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{- 4 x} d x)$

خطوة 7

لنفترض أن $u = - 4 x$ . إذن $d u = - 4 d x$ ، لذا $- \frac{1}{4} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

افترض أن $u = - 4 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أوجِد مشتقة $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

خطوة 7.1.2

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

خطوة 7.1.4

اضرب $- 4$ في $1$ .

$- 4$

خطوة 7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{- 4} d u)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u} (- \frac{1}{4}) d u)$

خطوة 8.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{4}$ .

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int - \frac{e^{u}}{4} d u)$

خطوة 9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- \int \frac{e^{u}}{4} d u))$

خطوة 10

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- (\frac{1}{4} \int e^{u} d u)))$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{1}{4}$ .

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

خطوة 11.2

اضرب $4$ في $4$ .

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

خطوة 12

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أعِد كتابة $5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ بالصيغة $5 (- \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ .

$5 (- \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

خطوة 13.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{4}$ .

$5 (- \frac{x}{4} e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

خطوة 13.2.2

اجمع $e^{- 4 x}$ و $\frac{x}{4}$ .

$5 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

خطوة 13.2.3

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{16}$ .

$5 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{u}}{16}) + C$

خطوة 14

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 4 x$ .

$5 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

خطوة 15

أعِد ترتيب الحدود.

$5 (- \frac{1}{4} e^{- 4 x} x - \frac{1}{16} e^{- 4 x}) + C$