حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{- 3}^{- 2} 2 e^{- 0.1 y} + \frac{3}{y} d y$

خطوة 1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{- 3}^{- 2} 2 e^{- 0.1 y} d y + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

خطوة 2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int_{- 3}^{- 2} e^{- 0.1 y} d y + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

خطوة 3

لنفترض أن $u = - 0.1 y$ . إذن $d u = - 0.1 d y$ ، لذا $\frac{1}{- 0.1} d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = - 0.1 y$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $- 0.1 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 0.1 y]$

خطوة 3.1.2

بما أن $- 0.1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- 0.1 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- 0.1 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 0.1 \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 0.1 \cdot 1$

خطوة 3.1.4

اضرب $- 0.1$ في $1$ .

$- 0.1$

خطوة 3.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $y$ في $u = - 0.1 y$ .

$u_{lower} = - 0.1 \cdot - 3$

خطوة 3.3

اضرب $- 0.1$ في $- 3$ .

$u_{lower} = 0.3$

خطوة 3.4

عوّض بالنهاية العليا عن $y$ في $u = - 0.1 y$ .

$u_{upper} = - 0.1 \cdot - 2$

خطوة 3.5

اضرب $- 0.1$ في $- 2$ .

$u_{upper} = 0.2$

خطوة 3.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0.3$

$u_{upper} = 0.2$

خطوة 3.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$2 \int_{0.3}^{0.2} e^{u} \frac{1}{- 0.1} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$2 \int_{0.3}^{0.2} e^{u} (- \frac{1}{0.1}) d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

خطوة 4.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{0.1}$ .

$2 \int_{0.3}^{0.2} - \frac{e^{u}}{0.1} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$2 (- \int_{0.3}^{0.2} \frac{e^{u}}{0.1} d u) + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

خطوة 6

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 \int_{0.3}^{0.2} \frac{e^{u}}{0.1} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{0.1}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{0.1}$ خارج التكامل.

$- 2 (\frac{1}{0.1} \int_{0.3}^{0.2} e^{u} d u) + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{1}{0.1}$ و $- 2$ .

$\frac{- 2}{0.1} \int_{0.3}^{0.2} e^{u} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

خطوة 8.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2}{0.1} \int_{0.3}^{0.2} e^{u} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

خطوة 9

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$- \frac{2}{0.1} e^{u}]_{0.3}^{0.2} + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

خطوة 10

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$- \frac{2}{0.1} e^{u}]_{0.3}^{0.2} + 3 \int_{- 3}^{- 2} \frac{1}{y} d y$

خطوة 11

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$- \frac{2}{0.1} e^{u}]_{0.3}^{0.2} + 3 (\ln (| y |)]_{- 3}^{- 2})$

خطوة 12

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

احسِب قيمة $e^{u}$ في $0.2$ وفي $0.3$ .

$- \frac{2}{0.1} ((e^{0.2}) - e^{0.3}) + 3 (\ln (| y |)]_{- 3}^{- 2})$

خطوة 12.2

احسِب قيمة $\ln (| y |)$ في $- 2$ وفي $- 3$ .

$- \frac{2}{0.1} ((e^{0.2}) - e^{0.3}) + 3 ((\ln (| - 2 |)) - \ln (| - 3 |))$

خطوة 12.3

احذِف الأقواس.

$- \frac{2}{0.1} (e^{0.2} - e^{0.3}) + 3 (\ln (| - 2 |) - \ln (| - 3 |))$

خطوة 13

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{2}{0.1} (e^{0.2} - e^{0.3}) + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

خطوة 14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

اقسِم $2$ على $0.1$ .

$- 1 \cdot 20 (e^{0.2} - e^{0.3}) + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

خطوة 14.2

اضرب $- 1$ في $20$ .

$- 20 (e^{0.2} - e^{0.3}) + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

خطوة 14.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- 20 e^{0.2} - 20 (- e^{0.3}) + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

خطوة 14.4

اضرب $- 1$ في $- 20$ .

$- 20 e^{0.2} + 20 e^{0.3} + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

خطوة 14.5

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $- 2$ و $0$ تساوي $2$ .

$- 20 e^{0.2} + 20 e^{0.3} + 3 \ln (\frac{2}{| - 3 |})$

خطوة 14.6

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $- 3$ و $0$ تساوي $3$ .

$- 20 e^{0.2} + 20 e^{0.3} + 3 \ln (\frac{2}{3})$

خطوة 15

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- 20 e^{0.2} + 20 e^{0.3} + 3 \ln (\frac{2}{3})$

الصيغة العشرية:

$1.35272566 \dots$

خطوة 16