حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 2 x^{3} e^{- x^{2}} d x$

خطوة 1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int x^{3} e^{- x^{2}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = - x^{2}$ . إذن $d u = - 2 x d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = - x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 2.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- (2 x)$

خطوة 2.1.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 x$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$2 \int {\sqrt{- u}}^{2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة ${\sqrt{- u}}^{2}$ بالصيغة $- u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{- u}$ في صورة ${(- u)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int {({(- u)}^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 3.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int {(- u)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 3.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$2 \int {(- u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 3.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \int {(- u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 3.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 \int {(- u)}^{1} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 3.1.5

بسّط.

$2 \int - u e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$2 \int - u e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

خطوة 3.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$2 \int 1 u e^{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 3.4

اضرب $u$ في $1$ .

$2 \int u e^{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 3.5

اجمع $\frac{1}{2}$ و $u$ .

$2 \int \frac{u}{2} e^{u} d u$

خطوة 3.6

اجمع $\frac{u}{2}$ و $e^{u}$ .

$2 \int \frac{u e^{u}}{2} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$2 (\frac{1}{2} \int u e^{u} d u)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{2}{2} \int u e^{u} d u$

خطوة 5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{2} \int u e^{u} d u$

خطوة 5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 \int u e^{u} d u$

خطوة 5.3

اضرب $\int u e^{u} d u$ في $1$ .

$\int u e^{u} d u$

خطوة 6

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int w d v = w v - \int v d w$ ، حيث $w = u$ و $dv = e^{u}$ .

$u e^{u} - \int e^{u} d u$

خطوة 7

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$u e^{u} - (e^{u} + C)$

خطوة 8

بسّط.

$u e^{u} - e^{u} + C$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x^{2}$ .

$- x^{2} e^{- x^{2}} - e^{- x^{2}} + C$