حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{36}^{49} \frac{\ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

خطوة 1

أعِد كتابة $\frac{\ln (y)}{\sqrt{y}}$ في صورة حاصل ضرب.

$\int_{36}^{49} \ln (y) \frac{1}{\sqrt{y}} d y$

خطوة 2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \ln (y)$ و $d v = \frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{49} - \int_{36}^{49} 2 y^{\frac{1}{2}} \frac{1}{y} d y$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{y}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{49} - \int_{36}^{49} y^{\frac{1}{2}} \frac{2}{y} d y$

خطوة 3.2

اجمع $y^{\frac{1}{2}}$ و $\frac{2}{y}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{49} - \int_{36}^{49} \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{y} d y$

خطوة 3.3

انقُل $2$ إلى يسار $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{49} - \int_{36}^{49} \frac{2 \cdot y^{\frac{1}{2}}}{y} d y$

خطوة 3.4

انقُل $y^{\frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{49} - \int_{36}^{49} \frac{2}{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}} d y$

خطوة 3.5

اضرب $y$ في $y^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اضرب $y$ في $y^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{49} - \int_{36}^{49} \frac{2}{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}} d y$

خطوة 3.5.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{49} - \int_{36}^{49} \frac{2}{y^{1 - \frac{1}{2}}} d y$

خطوة 3.5.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{49} - \int_{36}^{49} \frac{2}{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d y$

خطوة 3.5.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{49} - \int_{36}^{49} \frac{2}{y^{\frac{2 - 1}{2}}} d y$

خطوة 3.5.4

اطرح $1$ من $2$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{49} - \int_{36}^{49} \frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

خطوة 4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{49} - (2 \int_{36}^{49} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y)$

خطوة 5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{49} - 2 \int_{36}^{49} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

خطوة 5.2

انقُل $y^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{49} - 2 \int_{36}^{49} {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y$

خطوة 5.3

اضرب الأُسس في ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{49} - 2 \int_{36}^{49} y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y$

خطوة 5.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{49} - 2 \int_{36}^{49} y^{\frac{- 1}{2}} d y$

خطوة 5.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{49} - 2 \int_{36}^{49} y^{- \frac{1}{2}} d y$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $y$ هو $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{49} - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{36}^{49})$

خطوة 7

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احسِب قيمة $\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})$ في $49$ وفي $36$ .

$(\ln (49) (2 \cdot 49^{\frac{1}{2}})) - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{36}^{49})$

خطوة 7.2

احسِب قيمة $2 y^{\frac{1}{2}}$ في $49$ وفي $36$ .

$(\ln (49) (2 \cdot 49^{\frac{1}{2}})) - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}})$

خطوة 7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

أعِد كتابة $49$ بالصيغة $7^{2}$ .

$\ln (49) (2 \cdot {(7^{2})}^{\frac{1}{2}}) - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}})$

خطوة 7.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (49) (2 \cdot 7^{2 (\frac{1}{2})}) - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}})$

خطوة 7.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (49) (2 \cdot 7^{2 (\frac{1}{2})}) - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}})$

خطوة 7.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (49) (2 \cdot 7^{1}) - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}})$

خطوة 7.3.4

احسِب قيمة الأُس.

$\ln (49) (2 \cdot 7) - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}})$

خطوة 7.3.5

اضرب $2$ في $7$ .

$\ln (49) \cdot 14 - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}})$

خطوة 7.3.6

انقُل $14$ إلى يسار $\ln (49)$ .

$14 \cdot \ln (49) - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}})$

خطوة 7.3.7

أعِد كتابة $36$ بالصيغة $6^{2}$ .

$14 \ln (49) - \ln (36) (2 \cdot {(6^{2})}^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}})$

خطوة 7.3.8

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$14 \ln (49) - \ln (36) (2 \cdot 6^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}})$

خطوة 7.3.9

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.9.1

ألغِ العامل المشترك.

$14 \ln (49) - \ln (36) (2 \cdot 6^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}})$

خطوة 7.3.9.2

أعِد كتابة العبارة.

$14 \ln (49) - \ln (36) (2 \cdot 6^{1}) - 2 ((2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}})$

خطوة 7.3.10

احسِب قيمة الأُس.

$14 \ln (49) - \ln (36) (2 \cdot 6) - 2 ((2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}})$

خطوة 7.3.11

اضرب $2$ في $6$ .

$14 \ln (49) - \ln (36) \cdot 12 - 2 ((2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}})$

خطوة 7.3.12

اضرب $12$ في $- 1$ .

$14 \ln (49) - 12 \ln (36) - 2 ((2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}})$

خطوة 7.3.13

أعِد كتابة $49$ بالصيغة $7^{2}$ .

$14 \ln (49) - 12 \ln (36) - 2 (2 \cdot {(7^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}})$

خطوة 7.3.14

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$14 \ln (49) - 12 \ln (36) - 2 (2 \cdot 7^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}})$

خطوة 7.3.15

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.15.1

ألغِ العامل المشترك.

$14 \ln (49) - 12 \ln (36) - 2 (2 \cdot 7^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}})$

خطوة 7.3.15.2

أعِد كتابة العبارة.

$14 \ln (49) - 12 \ln (36) - 2 (2 \cdot 7^{1} - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}})$

خطوة 7.3.16

احسِب قيمة الأُس.

$14 \ln (49) - 12 \ln (36) - 2 (2 \cdot 7 - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}})$

خطوة 7.3.17

اضرب $2$ في $7$ .

$14 \ln (49) - 12 \ln (36) - 2 (14 - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}})$

خطوة 7.3.18

أعِد كتابة $36$ بالصيغة $6^{2}$ .

$14 \ln (49) - 12 \ln (36) - 2 (14 - 2 \cdot {(6^{2})}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 7.3.19

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$14 \ln (49) - 12 \ln (36) - 2 (14 - 2 \cdot 6^{2 (\frac{1}{2})})$

خطوة 7.3.20

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.20.1

ألغِ العامل المشترك.

$14 \ln (49) - 12 \ln (36) - 2 (14 - 2 \cdot 6^{2 (\frac{1}{2})})$

خطوة 7.3.20.2

أعِد كتابة العبارة.

$14 \ln (49) - 12 \ln (36) - 2 (14 - 2 \cdot 6^{1})$

خطوة 7.3.21

احسِب قيمة الأُس.

$14 \ln (49) - 12 \ln (36) - 2 (14 - 2 \cdot 6)$

خطوة 7.3.22

اضرب $- 2$ في $6$ .

$14 \ln (49) - 12 \ln (36) - 2 (14 - 12)$

خطوة 7.3.23

اطرح $12$ من $14$ .

$14 \ln (49) - 12 \ln (36) - 2 \cdot 2$

خطوة 7.3.24

اضرب $- 2$ في $2$ .

$14 \ln (49) - 12 \ln (36) - 4$

خطوة 8

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد كتابة $\ln (49)$ بالصيغة $\ln (7^{2})$ .

$14 \ln (7^{2}) - 12 \ln (36) - 4$

خطوة 8.2

وسّع $\ln (7^{2})$ بنقل $2$ خارج اللوغاريتم.

$14 (2 \ln (7)) - 12 \ln (36) - 4$

خطوة 8.3

اضرب $2$ في $14$ .

$28 \ln (7) - 12 \ln (36) - 4$

خطوة 9

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$28 \ln (7) - 12 \ln (36) - 4$

الصيغة العشرية:

$7.48325691 \dots$