حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 3 x e^{0.5 x^{2}} d x$

خطوة 1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int x e^{0.5 x^{2}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u_{2} = e^{0.5 x^{2}}$ . إذن $d u_{2} = x e^{0.5 x^{2}} d x$ ، لذا $\frac{1}{x e^{0.5 x^{2}}} d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u_{2} = e^{0.5 x^{2}}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $e^{0.5 x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{0.5 x^{2}}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 0.5 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $0.5 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [0.5 x^{2}]$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [0.5 x^{2}]$

خطوة 2.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $0.5 x^{2}$ .

$e^{0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [0.5 x^{2}]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $0.5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $0.5 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{0.5 x^{2}} (0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$e^{0.5 x^{2}} (0.5 (2 x))$

خطوة 2.1.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.3.1

اضرب $2$ في $0.5$ .

$e^{0.5 x^{2}} (1 x)$

خطوة 2.1.3.3.2

اضرب $x$ في $1$ .

$e^{0.5 x^{2}} x$

خطوة 2.1.3.3.3

أعِد ترتيب العوامل في $e^{0.5 x^{2}} x$ .

$x e^{0.5 x^{2}}$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$3 \int d u_{2}$

خطوة 3

طبّق قاعدة الثابت.

$3 (u_{2} + C)$

خطوة 4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط.

$3 u_{2} + C$

خطوة 4.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $e^{0.5 x^{2}}$ .

$3 e^{0.5 x^{2}} + C$