حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{3}^{6} 2 x \sqrt{x^{2} - 4} d x$

خطوة 1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int_{3}^{6} x \sqrt{x^{2} - 4} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = x^{2} - 4$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = x^{2} - 4$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

خطوة 2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 2.1.4

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 2.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = x^{2} - 4$ .

$u_{lower} = 3^{2} - 4$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$u_{lower} = 9 - 4$

خطوة 2.3.2

اطرح $4$ من $9$ .

$u_{lower} = 5$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = x^{2} - 4$ .

$u_{upper} = 6^{2} - 4$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$u_{upper} = 36 - 4$

خطوة 2.5.2

اطرح $4$ من $36$ .

$u_{upper} = 32$

خطوة 2.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 32$

خطوة 2.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$2 \int_{5}^{32} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 3

اجمع $\sqrt{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{5}^{32} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$2 (\frac{1}{2} \int_{5}^{32} \sqrt{u} d u)$

خطوة 5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{5}^{32} \sqrt{u} d u$

خطوة 5.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{2} \int_{5}^{32} \sqrt{u} d u$

خطوة 5.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 \int_{5}^{32} \sqrt{u} d u$

خطوة 5.1.3

اضرب $\int_{5}^{32} \sqrt{u} d u$ في $1$ .

$\int_{5}^{32} \sqrt{u} d u$

خطوة 5.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{5}^{32} u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{5}^{32}$

خطوة 7

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احسِب قيمة $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ في $32$ وفي $5$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 32^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $32^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 32^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

خطوة 7.2.2

أعِد كتابة $32$ بالصيغة $2^{5}$ .

$\frac{2 \cdot {(2^{5})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

خطوة 7.2.3

اضرب الأُسس في ${(2^{5})}^{\frac{3}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{5 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

خطوة 7.2.3.2

اضرب $5 (\frac{3}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.2.1

اجمع $5$ و $\frac{3}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{5 \cdot 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

خطوة 7.2.3.2.2

اضرب $5$ في $3$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{15}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

خطوة 7.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2^{1 + \frac{15}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

خطوة 7.2.5

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{15}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

خطوة 7.2.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2^{\frac{2 + 15}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

خطوة 7.2.7

أضف $2$ و $15$ .

$\frac{2^{\frac{17}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

خطوة 7.2.8

اجمع $5^{\frac{3}{2}}$ و $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{17}{2}}}{3} - \frac{5^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$

خطوة 7.2.9

انقُل $2$ إلى يسار $5^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2^{\frac{17}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{2^{\frac{17}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

الصيغة العشرية:

$113.22599739 \dots$

خطوة 9