حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{1}{8}} \frac{\arcsin (4 x)}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{2} = \arcsin (4 x)$ . إذن $d u_{2} = \frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} d x$ ، لذا $- d u_{2} = \frac{- 4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{2} = \arcsin (4 x)$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\arcsin (4 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\arcsin (4 x)]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \arcsin (x)$ و $g (x) = 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 1.1.2.2

مشتق $\arcsin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $4 x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(4 x)}^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

أخرِج العامل $4$ من $4 x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(4 (x))}^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 1.1.3.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $4 (x)$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (4^{2} x^{2})}} \frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 1.1.3.2.2

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (16 x^{2})}} \frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 1.1.3.2.3

اضرب $16$ في $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 1.1.3.3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.1.3.4

اجمع $4$ و $\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} \cdot 1$

خطوة 1.1.3.6

اضرب $\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$ في $1$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u_{2} = \arcsin (4 x)$ .

$u_{lower} = \arcsin (4 \cdot 0)$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $4$ في $0$ .

$u_{lower} = \arcsin (0)$

خطوة 1.3.2

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u_{2} = \arcsin (4 x)$ .

$u_{upper} = \arcsin (4 (\frac{1}{8}))$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$u_{upper} = \arcsin (4 \frac{1}{4 (2)})$

خطوة 1.5.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = \arcsin (4 \frac{1}{4 \cdot 2})$

خطوة 1.5.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = \arcsin (\frac{1}{2})$

خطوة 1.5.2

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (\frac{1}{2})$ هي $\frac{π}{6}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{6}$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{6}$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{1}{4} u_{2} d u_{2}$

خطوة 2

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{6}} u_{2} d u_{2}$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u_{2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{0}^{\frac{π}{6}}$

خطوة 4

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ في $\frac{π}{6}$ وفي $0$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0)$

خطوة 4.2.2

اضرب $0$ في $- 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + 0 (\frac{1}{2}))$

خطوة 4.2.3

اضرب $0$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + 0)$

خطوة 4.2.4

أضف $\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2}$ و $0$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2})$

خطوة 4.2.5

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} {(\frac{π}{6})}^{2}$

خطوة 4.2.6

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{π}{6})}^{2}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{π}{6}$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{π^{2}}{6^{2}}$

خطوة 5.2

اجمع.

$\frac{1 π^{2}}{8 \cdot 6^{2}}$

خطوة 5.3

اضرب $π^{2}$ في $1$ .

$\frac{π^{2}}{8 \cdot 6^{2}}$

خطوة 5.4

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$\frac{π^{2}}{8 \cdot 36}$

خطوة 5.5

اضرب $8$ في $36$ .

$\frac{π^{2}}{288}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{π^{2}}{288}$

الصيغة العشرية:

$0.03426945 \dots$