حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \cos (π x) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = π x$ . إذن $d u = π d x$ ، لذا $\frac{1}{π} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = π x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

خطوة 1.1.2

بما أن $π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $π x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$π \cdot 1$

خطوة 1.1.4

اضرب $π$ في $1$ .

$π$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = π x$ .

$u_{lower} = π \cdot 0$

خطوة 1.3

اضرب $π$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = π x$ .

$u_{upper} = π \frac{1}{2}$

خطوة 1.5

اجمع $π$ و $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{1}{π} d u$

خطوة 2

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{π}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u)}{π} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{π}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{π}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

خطوة 4

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$\frac{1}{π} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

خطوة 5

احسِب قيمة $\sin (u)$ في $\frac{π}{2}$ وفي $0$ .

$\frac{1}{π} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$\frac{1}{π} (1 - \sin (0))$

خطوة 6.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{1}{π} (1 - 0)$

خطوة 6.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{1}{π} (1 + 0)$

خطوة 6.4

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{1}{π} \cdot 1$

خطوة 6.5

اضرب $\frac{1}{π}$ في $1$ .

$\frac{1}{π}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{π}$

الصيغة العشرية:

$0.31830988 \dots$