حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{y - 2}{y + 3} d y$

خطوة 1

اقسِم $y - 2$ على $y + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$y$

$3$

$y$

$2$

خطوة 1.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $y$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $y$ .

					$1$
	$y$	+	$3$		$y$	-	$2$

خطوة 1.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	-	$2$
			+	$y$	+	$3$

خطوة 1.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $y + 3$

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	-	$2$
			-	$y$	-	$3$

خطوة 1.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	-	$2$
			-	$y$	-	$3$
					-	$5$

خطوة 1.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int 1 - \frac{5}{y + 3} d y$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int d y + \int - \frac{5}{y + 3} d y$

خطوة 3

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C + \int - \frac{5}{y + 3} d y$

خطوة 4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C - \int \frac{5}{y + 3} d y$

خطوة 5

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$y + C - (5 \int \frac{1}{y + 3} d y)$

خطوة 6

اضرب $5$ في $- 1$ .

$y + C - 5 \int \frac{1}{y + 3} d y$

خطوة 7

لنفترض أن $u = y + 3$ . إذن $d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

افترض أن $u = y + 3$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أوجِد مشتقة $y + 3$ .

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

خطوة 7.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y + 3$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

خطوة 7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

خطوة 7.1.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 7.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C - 5 \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 8

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$y + C - 5 (\ln (| u |) + C)$

خطوة 9

بسّط.

$y - 5 \ln (| u |) + C$

خطوة 10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y + 3$ .

$y - 5 \ln (| y + 3 |) + C$