حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int y^{2} {(1 + y)}^{2} d y$

خطوة 1

وسّع $y^{2} {(1 + y)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة ${(1 + y)}^{2}$ بالصيغة $(1 + y) (1 + y)$ .

$\int y^{2} ((1 + y) (1 + y)) d y$

خطوة 1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int y^{2} (1 (1 + y) + y (1 + y)) d y$

خطوة 1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int y^{2} (1 \cdot 1 + 1 y + y (1 + y)) d y$

خطوة 1.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\int y^{2} (1 \cdot 1 + 1 y + y \cdot 1 + y \cdot y) d y$

خطوة 1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\int y^{2} (1 \cdot 1 + 1 y) + y^{2} (y \cdot 1 + y \cdot y) d y$

خطوة 1.6

طبّق خاصية التوزيع.

$\int y^{2} (1 \cdot 1) + y^{2} (1 y) + y^{2} (y \cdot 1 + y \cdot y) d y$

خطوة 1.7

طبّق خاصية التوزيع.

$\int y^{2} (1 \cdot 1) + y^{2} (1 y) + y^{2} (y \cdot 1) + y^{2} (y \cdot y) d y$

خطوة 1.8

انقُل $y^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 y^{2} + y^{2} (1 y) + y^{2} (y \cdot 1) + y^{2} (y \cdot y) d y$

خطوة 1.9

أعِد ترتيب $y^{2}$ و $1$ .

$\int 1 \cdot 1 y^{2} + 1 \cdot y^{2} y + y^{2} (y \cdot 1) + y^{2} (y \cdot y) d y$

خطوة 1.10

أعِد ترتيب $y$ و $1$ .

$\int 1 \cdot 1 y^{2} + 1 \cdot y^{2} y + y^{2} (1 \cdot y) + y^{2} (y \cdot y) d y$

خطوة 1.11

أعِد ترتيب $y^{2}$ و $1$ .

$\int 1 \cdot 1 y^{2} + 1 \cdot y^{2} y + 1 \cdot y^{2} \cdot y + y^{2} (y \cdot y) d y$

خطوة 1.12

اضرب $1$ في $1$ .

$\int 1 y^{2} + 1 y^{2} y + 1 y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

خطوة 1.13

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$\int y^{2} + 1 y^{2} y + 1 y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

خطوة 1.14

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$\int y^{2} + y^{2} y + 1 y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

خطوة 1.15

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\int y^{2} + y^{2} y^{1} + 1 y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

خطوة 1.16

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int y^{2} + y^{2 + 1} + 1 y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

خطوة 1.17

أضف $2$ و $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + 1 y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

خطوة 1.18

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

خطوة 1.19

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{2} y^{1} + y^{2} y \cdot y d y$

خطوة 1.20

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int y^{2} + y^{3} + y^{2 + 1} + y^{2} y \cdot y d y$

خطوة 1.21

أضف $2$ و $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{2} y \cdot y d y$

خطوة 1.22

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{2} y^{1} y d y$

خطوة 1.23

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{2 + 1} y d y$

خطوة 1.24

أضف $2$ و $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{3} y d y$

خطوة 1.25

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{3} y^{1} d y$

خطوة 1.26

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{3 + 1} d y$

خطوة 1.27

أضف $3$ و $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{4} d y$

خطوة 1.28

أضف $y^{3}$ و $y^{3}$ .

$\int y^{2} + 2 y^{3} + y^{4} d y$

خطوة 1.29

أعِد ترتيب $2 y^{3}$ و $y^{4}$ .

$\int y^{2} + y^{4} + 2 y^{3} d y$

خطوة 1.30

انقُل $y^{2}$ .

$\int y^{4} + 2 y^{3} + y^{2} d y$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int y^{4} d y + \int 2 y^{3} d y + \int y^{2} d y$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{4}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + \int 2 y^{3} d y + \int y^{2} d y$

خطوة 4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 2 \int y^{3} d y + \int y^{2} d y$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{3}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 2 (\frac{1}{4} y^{4} + C) + \int y^{2} d y$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 2 (\frac{1}{4} y^{4} + C) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $y^{4}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 2 (\frac{y^{4}}{4} + C) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

خطوة 7.2

بسّط.

$\frac{y^{5}}{5} + \frac{y^{4}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

خطوة 7.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{5} y^{5} + \frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{3} y^{3} + C$