حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{r}{4 + r^{2}} d r$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 4 + r^{2}$ . إذن $d u = 2 r d r$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = r d r$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 4 + r^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d r}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $4 + r^{2}$ .

$\frac{d}{d r} [4 + r^{2}]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 + r^{2}$ بالنسبة إلى $r$ هو $\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

خطوة 1.1.3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $r$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ هو $n r^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + 2 r$

خطوة 1.1.5

أضف $0$ و $2 r$ .

$2 r$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $r$ في $u = 4 + r^{2}$ .

$u_{lower} = 4 + 0^{2}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 4 + 0$

خطوة 1.3.2

أضف $4$ و $0$ .

$u_{lower} = 4$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $r$ في $u = 4 + r^{2}$ .

$u_{upper} = 4 + {(\frac{π}{2})}^{2}$

خطوة 1.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{π}{2}$ .

$u_{upper} = 4 + \frac{π^{2}}{2^{2}}$

خطوة 1.5.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$u_{upper} = 4 + \frac{π^{2}}{4}$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 4 + \frac{π^{2}}{4}$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

خطوة 2.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$\int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{2 u} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{u} d u$

خطوة 4

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}}$

خطوة 5

احسِب قيمة $\ln (| u |)$ في $4 + \frac{π^{2}}{4}$ وفي $4$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| 4 + \frac{π^{2}}{4} |) - \ln (| 4 |))$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 4 + \frac{π^{2}}{4} |}{| 4 |})$

خطوة 6.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln (\frac{| 4 + \frac{π^{2}}{4} |}{| 4 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 4 + \frac{π^{2}}{4} |}{| 4 |})}{2}$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

$4 + \frac{π^{2}}{4}$ تساوي تقريبًا $6.4674011$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\frac{\ln (\frac{4 + \frac{π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

خطوة 7.1.2

لكتابة $4$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\ln (\frac{4 \cdot \frac{4}{4} + \frac{π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

خطوة 7.1.3

اجمع $4$ و $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{4 \cdot 4}{4} + \frac{π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

خطوة 7.1.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\ln (\frac{\frac{4 \cdot 4 + π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

خطوة 7.1.5

اضرب $4$ في $4$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{16 + π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

خطوة 7.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $4$ تساوي $4$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{16 + π^{2}}{4}}{4})}{2}$

خطوة 7.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{4} \cdot \frac{1}{4})}{2}$

خطوة 7.4

اضرب $\frac{16 + π^{2}}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

اضرب $\frac{16 + π^{2}}{4}$ في $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{4 \cdot 4})}{2}$

خطوة 7.4.2

اضرب $4$ في $4$ .

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{16})}{2}$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{16})}{2}$

الصيغة العشرية:

$0.24023999 \dots$

خطوة 9