حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{- \cos (x)} \sin (x) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = - \cos (x)$ . إذن $d u = \sin (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = - \cos (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $- \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

خطوة 1.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 1.1.3

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$- - \sin (x)$

خطوة 1.1.4

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \sin (x)$

خطوة 1.1.4.2

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$\sin (x)$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = - \cos (x)$ .

$u_{lower} = - \cos (0)$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

خطوة 1.3.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$u_{lower} = - 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = - \cos (x)$ .

$u_{upper} = - \cos (\frac{π}{2})$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$u_{upper} = - 0$

خطوة 1.5.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$u_{upper} = 0$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 0$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{- 1}^{0} e^{u} d u$

خطوة 2

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$e^{u}]_{- 1}^{0}$

خطوة 3

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة $e^{u}$ في $0$ وفي $- 1$ .

$(e^{0}) - e^{- 1}$

خطوة 3.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$1 - e^{- 1}$

خطوة 4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{e}$

خطوة 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$1 - \frac{1}{e}$

الصيغة العشرية:

$0.63212055 \dots$