حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (t)}{\sqrt{1 + \sin^{2} (t)}} d t$

خطوة 1

لنفترض أن $u = \sin (t)$ . إذن $d u = \cos (t) d t$ ، لذا $\frac{1}{\cos (t)} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = \sin (t)$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\sin (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sin (t)]$

خطوة 1.1.2

مشتق $\sin (t)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\cos (t)$ .

$\cos (t)$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $t$ في $u = \sin (t)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

خطوة 1.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $t$ في $u = \sin (t)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

خطوة 1.5

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$u_{upper} = 1$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}} d u$

خطوة 2

لنفترض أن $u = \tan (t_{1})$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d u = \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $\sec^{2} (t_{1})$ موجبة.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2} (t_{1})}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

خطوة 3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط $\sqrt{1 + \tan^{2} (t_{1})}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t_{1}) + 1}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

خطوة 3.1.2

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t_{1})}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

خطوة 3.1.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sec (t_{1})} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

خطوة 3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\sec (t_{1})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $\sec (t_{1})$ من $\sec^{2} (t_{1})$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sec (t_{1})} (\sec (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

خطوة 3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sec (t_{1})} (\sec (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

خطوة 3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec (t_{1}) d t_{1}$

خطوة 4

تكامل $\sec (t_{1})$ بالنسبة إلى $t_{1}$ هو $\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)$ .

$\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

خطوة 5

احسِب قيمة $\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)$ في $\frac{π}{4}$ وفي $0$ .

$\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

القيمة الدقيقة لـ $\sec (\frac{π}{4})$ هي $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

خطوة 6.2

القيمة الدقيقة لـ $\tan (\frac{π}{4})$ هي $1$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

خطوة 6.3

القيمة الدقيقة لـ $\sec (0)$ هي $1$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + \tan (0) |)$

خطوة 6.4

القيمة الدقيقة لـ $\tan (0)$ هي $0$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |)$

خطوة 6.5

أضف $1$ و $0$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 |)$

خطوة 6.6

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.1

اضرب $\frac{2}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

خطوة 7.1.1.2

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.2.1

اضرب $\frac{2}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

خطوة 7.1.1.2.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

خطوة 7.1.1.2.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + 1 |}{| 1 |})$

خطوة 7.1.1.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + 1 |}{| 1 |})$

خطوة 7.1.1.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + 1 |}{| 1 |})$

خطوة 7.1.1.2.6

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.2.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 1 |}{| 1 |})$

خطوة 7.1.1.2.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 1 |}{| 1 |})$

خطوة 7.1.1.2.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |})$

خطوة 7.1.1.2.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.2.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |})$

خطوة 7.1.1.2.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} + 1 |}{| 1 |})$

خطوة 7.1.1.2.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |})$

خطوة 7.1.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |})$

خطوة 7.1.1.3.2

اقسِم $\sqrt{2}$ على $1$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{2} + 1 |}{| 1 |})$

خطوة 7.1.2

$\sqrt{2} + 1$ تساوي تقريبًا $2.41421356$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{| 1 |})$

خطوة 7.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{1})$

خطوة 7.3

اقسِم $\sqrt{2} + 1$ على $1$ .

$\ln (\sqrt{2} + 1)$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\ln (\sqrt{2} + 1)$

الصيغة العشرية:

$0.88137358 \dots$