حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \sin (x) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = \cos (x)$ . إذن $d u = - \sin (x) d x$ ، لذا $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = \cos (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 1.1.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

خطوة 1.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

خطوة 1.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$u_{upper} = 0$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{0} - u^{2} d u$

خطوة 2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{1}^{0} u^{2} d u$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0})$

خطوة 4

اجمع $\frac{1}{3}$ و $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0})$

خطوة 5

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة $\frac{u^{3}}{3}$ في $0$ وفي $1$ .

$- ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- (\frac{0}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

خطوة 5.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

$- (\frac{3 (0)}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

خطوة 5.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3})$

خطوة 5.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3})$

خطوة 5.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- (\frac{0}{1} - \frac{1^{3}}{3})$

خطوة 5.2.2.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$- (0 - \frac{1^{3}}{3})$

خطوة 5.2.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- (0 - \frac{1}{3})$

خطوة 5.2.4

اطرح $\frac{1}{3}$ من $0$ .

$- - \frac{1}{3}$

خطوة 5.2.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (\frac{1}{3})$

خطوة 5.2.6

اضرب $\frac{1}{3}$ في $1$ .

$\frac{1}{3}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{3}$

الصيغة العشرية:

$0.\overline{3}$