حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \sin (x^{2}) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x^{2}$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = x^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

خطوة 1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 0$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = x^{2}$ .

$u_{upper} = {(\frac{π}{2})}^{2}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{π}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{π^{2}}{2^{2}}$

خطوة 1.5.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$u_{upper} = \frac{π^{2}}{4}$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π^{2}}{4}$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

خطوة 2

اجمع $\sin (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \frac{\sin (u)}{2} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (u) d u$

خطوة 4

تكامل $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π^{2}}{4}}$

خطوة 5

احسِب قيمة $- \cos (u)$ في $\frac{π^{2}}{4}$ وفي $0$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{π^{2}}{4}) + \cos (0))$

خطوة 6

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{π^{2}}{4}) + 1)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احسِب قيمة $\cos (\frac{π^{2}}{4})$ .

$\frac{1}{2} (- - 0.78121189 + 1)$

خطوة 7.2

اضرب $- 1$ في $- 0.78121189$ .

$\frac{1}{2} (0.78121189 + 1)$

خطوة 7.3

أضف $0.78121189$ و $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1.78121189$

خطوة 7.4

اجمع $\frac{1}{2}$ و $1.78121189$ .

$\frac{1.78121189}{2}$

خطوة 7.5

اقسِم $1.78121189$ على $2$ .

$0.89060594$