حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x^{3} \sin (x^{4}) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{1} = x^{2}$ . إذن $d u_{1} = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{1} = x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int u_{1} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ بالصيغة ${u_{1}}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u_{1}}$ في صورة ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u_{1} \sin ({({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u_{1} \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $4$ .

$\int u_{1} \sin ({u_{1}}^{\frac{4}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\int u_{1} \sin ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\int u_{1} \sin ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int u_{1} \sin ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int u_{1} \sin ({u_{1}}^{\frac{2}{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.1.4.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$\int u_{1} \sin ({u_{1}}^{2}) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $u_{1}$ .

$\int \frac{u_{1}}{2} \sin ({u_{1}}^{2}) d u_{1}$

خطوة 2.3

اجمع $\frac{u_{1}}{2}$ و $\sin ({u_{1}}^{2})$ .

$\int \frac{u_{1} \sin ({u_{1}}^{2})}{2} d u_{1}$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int u_{1} \sin ({u_{1}}^{2}) d u_{1}$

خطوة 4

لنفترض أن $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . إذن $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u_{1}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \sin (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 5

اجمع $\sin (u_{2})$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sin (u_{2})}{2} d u_{2}$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 7.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{1}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 8

تكامل $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط.

$\frac{1}{4} (- \cos (u_{2})) + C$

خطوة 9.2

اجمع $\frac{1}{4}$ و $\cos (u_{2})$ .

$- \frac{\cos (u_{2})}{4} + C$

خطوة 10

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ ${u_{1}}^{2}$ .

$- \frac{\cos ({u_{1}}^{2})}{4} + C$

خطوة 10.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{2}$ .

$- \frac{\cos ({(x^{2})}^{2})}{4} + C$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\cos (x^{2 \cdot 2})}{4} + C$

خطوة 11.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{\cos (x^{4})}{4} + C$

خطوة 11.2

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{1}{4} \cos (x^{4}) + C$